自反性与反自反性如何判断

Question

如题所述

Answer 1

书上的这些关系性质的定义中，一阶逻辑公式的变项x,y的取值是全总个体域，所以辖域内有x∈A，y∈A的限制。实际上我们只是在集合A中考虑的，所以这些定义完全可以去掉那些x∈A，y∈A的限制。
在集合A作为个体域时，定义是
（1） 若任意x(<x,x>∈R)，则称R在A上是自反的。
（2） 若任意x(<x,x>不属于R)，则称R在A上是反自反的。
（3） 若任意x任意y(<x,y>∈R→<y,x>∈R)，则称R为A上对称的关系。
（4） 若任意x任意y(<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)，则称R为A上的反对称关系。
这样，看起来就简洁了。
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1、判断自反、反自反时，就是看所有的<x,x>。如果所有的<x,x>都在R中，R自反。如果所有的<x,x>都不在R中，R反自反。如果只有一部分<x,x>在R中，则R既不自反也不反自反。

2、集合A上的关系R是笛卡尔积A×A的子集，只要A中的<x,y>保证x,y∈A即可，x,y不用取遍A中所有元素。
对称、反对称定义中的辖域是一个蕴涵式，比如对称的定义中，蕴涵式的前件是x,y∈A∧<x,y>∈R，后件是<y,x>∈R。前件有两部分，x,y∈A，<x,y>∈A，其中x,y∈A是肯定的，否则有什么讨论的意义呢。前件假，整个蕴涵式真。所以我们只考虑前件真时后件是真是假就行了。前件真的时候就是<x,y>∈A，我们我们考虑的是从R中任取一个<x,y>，如果<y,x>也都在R中，则R对称。
对于反对称也是一样的，从R中找出<x,y>与<y,x>，看x与y是否相等。