∫(xcosx/sin³x)dx=

Question

如题所述

Answer 1

∫(xcosx/sin³x)dx=-1/2xcot^2x-1/2cotx-1/2x+C。C为积分常数。
解答过程如下：
xcosx/sin^3x=xcotxcsc^2x
∫(xcosx/sin³x)dx
=∫xcotxcsc^2xdx
=-∫xcotxdcotx
=-1/2∫xdcot^2x
=-1/2(xcot^2x-∫cot^2xdx)
=-1/2xcot^2x+1/2∫（csc^2x-1)dx
=-1/2xcot^2x+1/2（∫csc^2xdx-∫1dx)
=-1/2xcot^2x+1/2(-cotx-x)+C
=-1/2xcot^2x-1/2cotx-1/2x+C
扩展资料：
分部积分：
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
两边积分得：∫
u'v
dx=∫
(uv)'
dx
-
∫
uv'
dx
即：∫
u'v
dx
=
uv
-
∫
uv'
d,这就是分部积分公式
也可简写为：∫
v
du
=
uv
-
∫
u
dv
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2)
dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

Answer 2

解：xcosx/sin^3x
=xcotxcsc^2x
原是=积分xcotxcsc^2xdx
=-积分xcotxdcotx
=-1/2积分xdcot^2x
=-1/2(xcot^2x-积分cot^2xdx)
=-1/2xcot^2x+1/2积分（csc^2x-1)dx
=-1/2xcot^2x+1/2（积分csc^2xdx-积分1dx)
=-1/2xcot^2x+1/2(-cotx-x)+C
=-1/2xcot^2x-1/2cotx-1/2x+C
答：原函数的不定积分为-1/2xcot^2x-1/2cotx-1/2x+C。
C表示的是任何常数
1/2c表示的也是任何常数，二者表示的是同一个概念，
虽然二者的表达形式不同，但是表示的概念是相同的，
所以可以用C取等效替代1/2C,知识在C娶到非零实数时，二者的屈指不同，但是二者的范围都是一切实数，值域是相同的。所以可以用C取替代1/2C。

Answer 3

∫
1/(sin³xcosx)
dx
分子分母同除以(cosx)^4
=∫
(secx)^4/(tan³x)
dx
=∫
sec²x/(tan³x)
d(tanx)
=∫
(tan²x+1)/(tan³x)
d(tanx)
=∫
1/tanx
d(tanx)
+
∫
1/(tan³x)
d(tanx)
=ln|tanx|
-
1/(2tan²x)
+
c
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