高数 证明题 求详解~必须有详细过程~多谢~

Question

设f(x)在[0,a]上连续，f(0)=f(a)=0,当0<x<a时，f(x)>0, l 为（0，a）上任意一点，证明至少存在一点k属于区间（0，a）使得f(k)=f(k+l)

如果证明过程复杂的话~我可以酌情加分的~多谢了~

Answer 1

证明：
因为f(x)在[0,a]连续，在（0,a）上取一点b，由题意知f(b)>0
因为f(b)>f(0),由介值定理知，任取0<η<f(b)，有f(c)=η; c∈(0,b)
因为f(b)>f(a),由介值定理知，对刚才的0<η<f(b)，有f(d)=η; d∈(b,a)
容易知道0<c<b<d<a
不妨取k=c I=d-c，就得到一组k,I 使得f(k)=f(k+I)
证毕。