如果,16个人全在位置上,那么有一种。
而且,如果有一个人在他自己原来的位置上,那么它一侧的人如果不在位置上,
只能跟那一则的交换,而且,被交换的数字,必须填补回来,不然,这将中个空位。如图
---D---C----不动点X------A------B-----Y--
---C---D----不动点X------B------A-----Y--
后面的数字如果也有交换,只可能和它后面的数字进行了。
所以,能交换的数字组成若干个数字交换对,且每个只有一种交换方式。
故而可以得出
1,除非一个环全部运动,不然,不存在奇数个位置进行交换。
2,每组数字只有一种组合,及AB变成BA,所以,只有求组合对数就行了。
先核算其直线排列下基本公式。
16个人全在位置上,那么有1种即,C(16,0)
14个人在位置上,那么有C(16-2+2/2,2/2)
12个人在位置上,那么有C(16-4+4/2,4/2)
10个人在位置上,那么有C(16-6+6/2,6/2)
……
2个人在位置上,那么有C(16-14+14/2,14/2)
0个人在位置上,那么有C(16-16+16/2,16/2)=1
其在环路下,有,当第一组不占据(1,2),位置时,最后一组可以使用(16,1)
所以,其排列数为,使其按基数加来算,但要除去第一组在(1,2)位置上时,最后一组选(16,1)的情况,可由线性组合公式C(n-x,x)推导相应的环形组合数公式为。
C(n-x+1,x)-C(n-x+1-4/2,x-2)=C(n-x+1,x)-C(n-1-x,x-2)
所以有
16个人全在位置上,那么有1种即,C(16,0)
14个人在位置上,环路下为C(16-2+2/2+1,2/2)-0
12个人在位置上,环路下为C(16-4+4/2+1,4/2)-C(16-1-4+4/2,4/2-2)
10个人在位置上,环路下为C(16-6+6/2+1,4/2)-C(16-1-6+6/2,6/2-2)
……
2个人在位置上,环路下为C(16-14+14/2+1,14/2)-C(16-1-14+14/2,14/2-2)
0个人在位置上,环路下为C(16-16+16/2+1,16/2)-C(16-1-16+16/2,16/2-2)
又因为,当全不在位置上时,可以整个向单方向旋转,
且左右各一种,故另加大环位置交换2种。
所以,总共做法为。
C(16,0)+C(16,1)+C(15,2)-C(13,0)+C(14,3)-C(12,1)……+C(10,7)-C(8,5)+C(9,8)-C(7,6)+2
计算得
1+16+104+352+660+672+336+64+2+2=2209
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