能告诉我中值定理中的中值到底是啥意思吗?

Question

如题所述

Answer 1

中值定理中的"中值"应当理解为"均值"。该定理的公式表述的是，在某个区间内至少存在一点，函数在该点的变化率等于函数在整个区间内的平均变化率。

日常生活中，这一概念易于理解。假设一辆汽车在一定时间内行驶了特定距离，其平均速度即为该段时间内的行驶距离除以时间，亦即总行程除以总时间。根据经验，我们知道在某一时段内，汽车的确存在某一刻的瞬时速度等于平均速度。

英文文献中通常将该定理称为mean value theorem。然而，"中值"这一翻译在中国的教材中被广泛使用，具体原因尚无明确解释。

著名数学家Richard Courant与Fritz John在其合著的《微积分与分析导论》一书中，曾在h. 微分算术中的中值定理章节中给出过一条注释：“更合适的名字应为微分算术中的中值定理。”然而，未给出具体原因。