03年高考数学试题难点
及04年复习策略
2004年名师课堂辅导讲座—高中部分
李洪岩
高级教师
03年高考数学试题的点是基础与能力并举,总体稳定强化能力立意命题,从学科整体知识,思想体系的高度设计试题,加强了综合性与应用性的考查.有以下特点:
(一)1,在全面考查基础知识的同时,侧重考查了高中数学的主干知识.
2,侧重考查了高等数学与初等数学的链接内容.如函数,立体几何,解析几何,导数,数列,概率等,占了相当大的比重就平面向量导数概率等内容占25%,由此可以看出高考的目的是侧重选拔有学习潜能的同学.
3,很多考题是教材例,习题的改编加工,拓展组合而成,充分体现了教材的基础性与示范性.
例如:10题.已知双曲线中心在坐标原点,一个焦点F1( ,0)直线y=x-1与双曲线交于M,N两点,MN中点横坐标为- ,则双曲线方程为
(A) (B)
(C) (D)
源于第二册上P132(13题)
再如19题,a>0求函数y= +ln(x+a) x(0,+∞)单调区间.源于选II P146 B组2(3),还有很多.
(二)对数学思想方法的考查更加深入更加深刻.
数学方法是数学知识更高层次上的抽象与概括,是数学知识的精髓.它蕴含在知识的发生与生产和应用的过程中,在全面考查常用的数学思想方法基础上,侧重考查了逻辑方法,如分析法,综合法,反证法,归纳法;还侧重考查了思维方法,观察与分析,概括与抽象,分析与综合,特殊与一般,类比与归纳与构造等.
如12,1个四面体的所有棱长为 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为
(A)3π (B)4π (C)3 π (D)6π
若直接计算较繁,若物造一个正方体较易算出是3π,故选A.
A1
D1
C1
B1
A
B
C
D
再如11题,长方形四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),一质点从AB中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后依次射到CD,DA和AB上的点P2,P3和P4,设P4(x4,0)若1(A)( ,1) (B)( , )
(C)( , ) (D)( , )
法一:
|P1B|=tanθ |P1C|=1-tanθ
|P2C|=(1-tanθ)cotθ=cotθ-1
|P2D|=2-|P2C|=3-cotθ
|DP3|=(3-cotθ)tanθ=3tanθ-1
P2
P3
P1
P0
P4
A
B
C
D
θ
θ
θ
θ
θ
θ
|P3A|=2-3tanθ ∴|AP4|=2cotθ-3
∴1<2cotθ-3<2 ∴ 法一:an=3n-1-2an-1(迭代法)
=3n-1-2(3n-2-2an-2)
=3n-1-2·3n-2+4(3n-3-2an-3)
=3n-1-2·3n-2+4·3n-3-8(2n-4-2an-4)
=3n-1+(-2)·3n-2+(-2)2·3n-3+…+(-2)n-2·3+(-2)n-1+(-2)na0
=3n-1 +(-1)n·2na0
= (3n+(-1)n-1·2n)+(-1)n·2na0
法二:an-α·3n=-2(an-1-α·3n-1)
α=
∴an- 3n=-2(an-1- ·3n-1)
∴an- 3n=-2(an-1- ·3n-1)
∴an= [3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2na0
法三:∵an+2an-1=3n-1 ① ∴an+2+2an=3n
∴ =3 ∴an+1-3an=-2(an-3an-1)
∴{an-3an-1}构成以a1-3a0为首项
-2为公比的等比数列
∴an-3an-1=(1-5a0)(-2)n-1②
由①,②得
an= [3n+(-1)n-12n]+(-1)n·2na0
法四:构选法,由已知得
an+1-an-6an-1=0
特写方程为x2-x-6=0 两根为x1=3 x2=-2
an=A·3n+B(-2)n
a0=A+B
1-5a0=3A-2B
an= ·3n+(a0- )(-2)n
= [3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2na0
A= B=a0-
法五:数列归纳法
①n=1 a1=1-2a0成立 ②假设n=k时,成立
即ak= [3k+(-1)k-12k]+(-1)k2ka0
那么n=k+1时,ak+1=3k-2ak
=3k- [3k+(-1)k-12k]-(-1)k2k+1a0
= [3k+1+(-1)k2k+1]+(-1)k+12k+1a0
∴n=k+1时也成立,由①②知对切n∈N+都成立
解:如果an>an-1(n∈N+)成立,特别取n=1,2有
a1-a0=1-3a0>0,a2-a1=6a0>0,
因此0下面证明当05(an-an-1)
=2×3n-1+(-1)n-13×2n-1+(-1)n5×3×2n-1a0.
(2)(i)当n=2k-1 k=1,2,…时
5(an-an-1)=2×3n-1+3×2n-1-5×3×2n-1a0
>2×2n-1+3×2n-1-5×2n-1=0
(i)当n=2k k=1,2,…时
5(an-an-1)=2×3n-1-3×2n-1+5×3×2n-1a0
>23n-1-32n-1≥0
故a0范围为(0, )
下一段复习应注意的几个问题:
一,继续加强双基训练,查缺补漏,从细节入手,注意解题方法,特别是选择题,先注意特殊解法.
典例分析
1,若定义在(-1,0)内的函数f(x)=lg2a(x+1),满足f(x)>0则a的取值范围
(A) (0, ) (B) (0, ]
(C) ( ,+∞) (D) (0,+∞)
法一:(特列值法)当a=1 x=- 时
f(- )=lg =-1<0,可排除C,D
当a= 时,f(x)无意义,故选A
法二:(直接法)∵-1则必有0<2a<1,即0法三:(图象法)画出两类对数函数图象
(1)当0<2a<1 0
法四:分析法,2a>0 a>0且a≠ ∴先排除B,D,而a∈(0, ) 2a∈(0,1)时是减函数,∴x∈(-1,0) x+1(0,1)上f(x)>0,故选A
y
x
0
y
x
0
2,函数y=sin2x+acos2x的图象一条对称轴为x=- ,则实数a值为
(A)1 (B)-1 (C) (D)-
法一:y= sin(2x+φ)其中tanφ=a
对称轴为2x+φ=kπ+ ∵x= 是一条对称轴
∴=kπ+ k∈z
∴a=tanφ=-1
法二:将x=0,x=- 代入
a=-1
法三:将x=- 代入
sin(- )+acos(- )=t ∴a=-1
法四:y′=2cos2x-2asin2x
当x=- y′ =0 ∴a=-1
二,注重新课程的新增内容复习.
典例分析
1,如图所示,点F(a,0)(a>0),点P在y轴上运动,M在x轴上,N为动点,且PM·PF=0,PN+PM=0
(1)求点N的轨迹C的方程;(2)过点F(a,0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A,B两点,设点K(-a,0),KA与KB的夹角为θ,求证:0<θ (2|y1y2|)-2a2= 4a2-2a2=0,所以cosθ= >0,所以0<θ< .
y2=4ax
y=k(x-a)
小结:向量及其运算是新课程的新增内容,由于向量融数,形于一体,具有代数形式和几何形式的双重身份,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的媒介.本题是将向量与解析几何,方程,不等式以及三角函数等知识有机结合,体现了《考试大纲》要求的"在知识网络交汇点处命题"的精神,我们预测今年的向量高考题的难度可能上升.
2,从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子,要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.(1)把铁盒的容积V表示为x的函数,并指出其定义域;(2)x为何值时,容积V有最大值.
2a
2a
x
x
x
解析:(1)由已知正方形的边长为2a-2x,高为x,则V=(2a-2x)2·x=4x(a-x)2,
(2)V=4x(a-x)2=4x3-8ax2+4a2x
∴V′=12x2-16ax+4a2,令V′=0,则x= ,或x=a(舍去),若 ,即t≥ 时,
∴当x= ,V取极大值,而V存在最大值.
∴当x= 时,V取最大值.
-
0
+
V′
( , )
(0, )
x
若 ,即0综上知:当t≥ 时,x= ,容积V取最大值;当x(1)求y=t(x)表达式.
(2)当α∈[ , ],求y的最大值.
解:(1)由已知sin(α+β-α)=mcos(α+β)sinα
sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=mcos(α+β)sinα
∴tan(α+β)=(m+1)tanα
∴tanβ=
(2)
令g(x)= +(1+m)x g′(x)=- +1+m
此题根据第一册下P91~9题改编加工的.
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录 制
同学们好!今天我们把物体的平衡的解题规律来总结一下.
ticle/gkgc/200509/lk01.htm
参考资料:http://www.qiuxue.cc/ar