有关两圆相交的奥数题（可以用几何位似）

Question

设圆O1与圆O2交于点A，B两点，一直线过点A分别与圆O1，O2交与另一点C,D，点M，N，K，分别是线段CD,BC,BD上的点，且MN//BD,MK//BC,再设点E，F分别在圆O1的弧BC(不含A)上和圆O2的弧BD（不含A）上，满足EN⊥BC,FK⊥BD，求证：∠EMF＝90°
图画的不准，各位高手请将就下｛答出来我会再追加｝

Answer 1

首先延长EN交圆O1于点F'

先证明三角形BFD相似于三角形CF‘B
证明如下：首先，角BF'C=角BAC=180度-角BAD=角BFD
而CN/NB=CM/MD=BE/ED 且FK与F'N分别是三角形BFD与三角形CF'B的高线
于是三角形BFD相似于三角形CF'B，这可以由圆O1与O2对应点相应的位似得出来，也可以由尺规作图的唯一性得出（本质上是一样的）

下面再证明三角形ENM相似于三角形MEF 设o1半径为r1，o2半径为r2
注意到EN×KF=EN×NF'×r2/r1=CN×NB×r2/r1=（因为r2/r1=BK/CN）NB×BK=MK×MN
从而EN/NM=MK/KF
又易得角ENM=角FEM 所以三角形ENM相似于三角形MKF
于是角EMF=角NMK-角NME-角FMK=角CBD-角NME-角NEM=角CBD-（180度-角ENM）=角CBD-（角MNB-90度角）=90度
于是所求直线垂直成立追问

为什么CN/NB=CM/MD=BE/ED ？

Answer 2

运用几何位似可以证明△MNE∽△MKF，所以有EN*FK=NM*KM,
而且运用EN⊥BC，FK⊥BD，如果我们记∠CBD=θ，则向量EN和向量FK的夹角为π-θ，向量NM和向量KM的夹角为θ（这个是利用已知条件中的平行关系得到MNBK为平行四边形得来）。
所以我们有（下面为向量运算）
EN*FK+NM*KM=0,又运用已知的垂直关系和平行关系我们有NM*FK=0,EN*KM=0.
从而我们有
EM*FM=EN*FK+NM*FK+EN*KM+NM*KM=0,所以有EM⊥FM,即有∠EMF＝90°。