高二数学选修2-1；已知抛物线y2=2x,过点Q（2,1）作一条直线交抛物线于A.B两点，试求弦AB中点的轨迹方程。

Question

如题所述

Answer 1

设A(x1,y1) B(x2,y2)
A,B在抛物线y2=2x上
y1^2=2x1
y2^2=2x2 相减
(y2-y1)(y2+y1)=2(x2-x1) (1)
AB中点x=[x1+x2]/2 y=[y1+y2]/2
k=(y-1)/(x-1)=(y2-y1)/(x2-x1)

代入(1)得
[(y-1)/(x-1)]*2y=2
y(y-1)=x-1
弦AB中点的轨迹方程为 y^2-y=x-1

Answer 2

设交点为（x1,y1）(x2,y2)

两交点满足y^2=2x

过（2,1）和两交点直线方程为

y=((y1-y2)/(x1-x2))(x-2)+1

将中点坐标（x0，y0）代入可得，

第三个方程就是解

Answer 3

设直线参数方程:x=2+tcosA
y=1+tsinA
代入y^2=2x 得到关于t的一元二次方程
利用韦达定理求出中点所对应的参数t=(t1+t2)/2
代回到直线的参数方程,消去A的后即可
方程:y^2-3y+x=0

Answer 4

设A(x1,y1),B(x2,y2)中点O（x0,y0）,则y1^2-y2^2=2(x1-x2),所以Kab=(y1-y2)/(x1-x2)=2/(y1+y2)=1/y0,所以AB：y-y0=(1/y0)*(x-x0)将（2,1）代入就可以了