其实我们所谓的逻辑（日常生活所用的逻辑，数学证明所用的逻辑等等一切逻辑）其实都是建立在自然演绎系统上面。而自然演绎系统是根据人类的经验和直观建立或者总结出来的，譬如很简单的例子从”A→B,A“可以得出”B“，从”A“可以得出”A∨B“等等。人类平时依靠的逻辑都是自觉或者不自觉的运用了自然演绎系统的各种推演规则。
也就是说，平时我们用到的逻辑都是根据给定的前提，利用自然演绎系统不断的变形，从而得出结论。可以认为，所谓的”有效推理“其实就是人为定义出来的东西，并没有所谓真假之分（实际上真假只是语义的概念），只要能用自然演绎系统根据给定前提，通过推演规则不断变形得到结论，这一串的公式序列称之为有效推理。建立了自然演绎系统后，我们就有了可以信赖的表达工具。然后我们可以在此基础上，建立任何的对象，包括语义理论，ZF集论，数理逻辑等等。
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