已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=1, 若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则

Question

接上题：f(1)+f(2)+f(3)+...f(2009)=??? 本题的正确答案为1. 求详细解答思路（方法步骤），快，谢谢！优秀的解答，视其具体情况，将额外再加悬赏分5~25分 ~

Answer 1

定义g(x+1)=f(x)----1式
而g(x)就是平移后的偶函数。
则g(x)=g(-x)-----2式
将x+1替换到2式中的x再结合1式
得f(x)=g(-x-1)----3式
再由1式变化得
g(x)=f(x-1)----4式
将3式等号右边(-x-1)替换4式中的x
可得到f(x)=g(-x-1)=-f(x+2)
由上式可以发现
f(x)+f(x+2)=0
则可知f(2)+.......+f(2009)中从f(2)开始每四个项为一组的和均为0。共2008个项502个组合刚好为0。
只剩下f(1)=1
额。。应该有更简洁的方法。。说麻烦了

Answer 2

定义g(x+1)=f(x)----1式
而g(x)就是平移后的偶函数。
则g(x)=g(-x)-----2式
将x+1替换到2式中的x再结合1式
得f(x)=g(-x-1)----3式
再由1式变化得
g(x)=f(x-1)----4式
将3式等号右边(-x-1)替换4式中的x
可得到f(x)=g(-x-1)=-f(x+2)
由上式可以发现
f(x)+f(x+2)=0
则可知f(2)+.......+f(2009)中从f(2)开始每四个项为一组的和均为0。共2008个项502个组合刚好为0。
只剩下f(1)=1追问

谢谢，这答案跟上面的其中的一个很相像噢，哈~

Answer 3

解决方法：
一：由奇函数的性质可知，函数在x=0点为0，而又有函数再x=1点为1，故在x=-1点为-1
二：由于第一步所求及偶函数的性质可知（最好自己将这些点画出来并连线，会清楚很多），函数在x=-2点为0，在x=-3点为1
三：由奇函数及偶函数的对称性，加之上两步的结果，可以知道函数的周期T=4，且容易求的从x=1开始的函数周期值为：1，0，-1，0，之后从x=5开始又是这样
四：由第三步可以得到每个周期函数值为1+0+-（1）+0 = 0，而从1到2008刚好又502个周期，也就是说f(1)+...+f(2008) = 502 * 0 = 0
五：由第四步可知，所求式子 = f(2009) = f(2009 - T * 502) = f(2009 - 2008) = f(1) = 1，为所求！追问

哈，挺好的，如果多一点分析就perfert·~

Answer 4

f(x)+f(-x)=0…一式
f(x-1)-f(-1-x)=0…二式
二式中用代t代x-1.
f(t)-f(-2-t)=0.
即f(x)-f(-2-x)=0
再与一式联例得f(-2-x)+f(-x)=0
即f(x)+f(x-2)=0
用x-2代x,再与上式联例，得：f(x)=f(x-4)周期是四。f(1)=1,f(-1)=-1,f(3)=-1,f(4)=-f(2)=f(0)=0.
一个周期的和是0.原式=f(2009)=1
手机打的，给分的说。
追问

谢谢高手，请问A."f(x-1)-f(-1-x)=0…二式
二式中用代t代x-1."
这里能否用t代-1-x进行计算？B.类似地，”f(x)+f(x-2)=0
用x-2代x,“中，能否用再用t来进行代数？C.下次再碰到类似这些式子的是否都能够随便设一个字母，然后再将题目中的任意一个式子进行代数，再连立方程求解，便能轻易得出函数周期？目前为止，个人认为，您是答得最好的那一位，如无意外，阁下的具体回答将马上追加悬赏分25分~

Answer 5

T = 4
=2008/4+f(1)=502+1=503追问

请问能具体一些吗？

追答

T为周期。
最简单的方法是类比正弦函数
502不要。