高三数学，圆锥曲线，求详细解答

Question

如题所述

Answer 1

1、由已知得 a^2 = 8b^2，4/a^2 + 1/2b^2 = 1，
解得 a^2 = 8，b^2 =1 ，因此方程为 x^2 / 8 + y^2 = 1 。
2、设直线方程为 y = kx+m，代入椭圆方程得 x^2/8 + (kx+m)^2 = 1，
整理得 (1+8k^2)x^2 + 16kmx + 8m^2 - 8 = 0，
所以 x1+x2 = -16km/(1+8k^2) ，x1x2 = (8m^2-8)/(1+8k^2)，
|MN|^2 = (1+k^2)*[(x1+x2)^2-4x1x2] = 8，
代入整理得 (32k^2+32)m^2+256k^4−160k^2−24 = 0，
解得 m^2 = -(32*k^4-20*k^2-3)/(4*k^2+4)
= -8(k^2+1) - 49/(4k^2+4) + 21
≤ -2√(8*49/4) + 21 = 21-14√2，
所以 m 最大值为 √(21-14√2) 。