离散似然函数解法 求具体过程 怎么乘的

Question

已知X总体分布：

X 0 1 2 3
P θ² 2θ(1-θ) θ² 1-2θ

已知L(θ)=4θ^6(1-θ)²(1-2θ)^4

这种已知分布律的 L(θ) 是怎么求的？？？

Answer 1

设X1,...,Xn是来自总体X的一个样本容量为n的简单随机样本，样本观测值记为x1,...,xn，令nk等于x1,...,xn中取值为k(k=0,1,2,3)的个数，即nk=#{i:xi=k,i=1,...,n} （k=0,1,2,3）（#A表示集合A中所含元素的个数）
则似然函数为：
L(θ;x1,...,xn)
= \Pi_{i=1}^n (θ²)^I{xi=0}*[2θ(1-θ)]^I{xi=1}*(θ²)^I{xi=2}*[1-2θ]^I{xi=3}
= (θ² )^n0*[2θ(1-θ)]*n1*(θ² )^n2*[1-2θ]^n3=2^n1*θ^(2(n0+n2)+n1)*(1-θ)^n1*[1-2θ]^n3
其中记号I(xi=k)表示：当xi=k成立时，I(xi=k)=1；当xi=k不成立时，I(xi=k)=0；记号\Pi_{i=1}^n表示当i=1,...,n时对【(θ²)^I{xi=0}*[2θ(1-θ)]^I{xi=1}*(θ²)^I{xi=2}*[1-2θ]^I{xi=3}】求连乘积。
由“已知L(θ)=4θ^6(1-θ)²(1-2θ)^4“可得：在本题中，样本容量为n=8，具体有n1=2,n3=4,n0+n2=2。追问

n1 为什么等于2 不等于 其他的数呢 还有 n3 n4 你怎么知道n3等于4的 不过你说的 还蛮有道理

追答

由题知 2^n1*θ^(2(n0+n2)+n1)*(1-θ)^n1*[1-2θ]^n3=4θ^6(1-θ)²(1-2θ)^4
进而 2^(n1-2)*θ^(2(n0+n2)+n1-6)*(1-θ)^(n1-2)*(1-2θ)^(n3-4)=1
不难得 n1=2, 2(n0+n2)+n1=6, n3=4
也即 n1=2,n3=4,n0+n2=2。

追问

完整原题

已知X总体分布：

X 0 1 2 3
P θ² 2θ(1-θ) θ² 1-2θ

其中θ（0<θ<0.5） 是未知参数 利用总体X 的如下样本
3,1,3,0,3,1,2,3，
求θ的矩估计值和最大似然估计值。

其中 我已经求得 矩估计值 θ=1/4

至于 L(θ)=4θ^6(1-θ)²(1-2θ)^4 不是已知的 那是答案 这是2011版 陈文灯 复习指南 591面的 12题

追答

既然已知样本观测值为：3,1,3,0,3,1,2,3。可知n0=1,n1=2,n2=1,n3=4，代入所求得的似然函数
L(θ)=2^n1*θ^(2(n0+n2)+n1)*(1-θ)^n1*[1-2θ]^n3
得 L(θ)=4θ^6(1-θ)²(1-2θ)^4。
对上述似然函数取对数得对数似然函数，通过求导数不难求得对数似然函数的驻点，由此即求得θ的最大似然估计值。

计算是简单的，此处省略。

Answer 2

后来居上，我给做一次比较常规的吧： x'为x的平均值
先求：EX=0*θ²+1* 2θ(1-θ)+2* θ²+3*（1-2θ）
x'=1/8(3+1+3+0+3+1+2+3) 令EX= x' 得到θ的矩估计值θ=1/4
再由： L(θ)=4θ^6(1-θ)²(1-2θ)^4
则：lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1-θ)+4ln(1-2θ)
dlnL(θ)/dθ=6/θ-2(1-θ)-8(1-2θ) 令dlnL(θ)/dθ=0 得到：θ¹=(7+√13)/12 θ²=(7-√13)/12

由于（0<θ<0.5），故最大似然估计值θ=(7-√13)/12

有不明白的可以继续提问哈。。