拉格朗日中值定理是什么？

Question

如题所述

Answer 1

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

扩展资料

人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积.。

意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。

参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理

Answer 2

定义
又称拉氏定理。
　　如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x
(0<θ<1)
　　上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。
定理内容
　　若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
　　(1)在[a,b]连续
　　(2)在(a,b)可导
　　则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
a<c<b，
　　使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
成立，其中a<c<b
证明:
　　把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
　　做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
　　易证明此函数在该区间满足条件:
　　1.G(a)=G(b);
　　2.G(x)在[a,b]连续;
　　3.G(x)在(a,b)可导.
　　此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证
几何意义
　　若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

Answer 3

f(b)-f(a)=f‘(ζ)(b-a)
就是说一段定义域为[b,a]的连续函数，必存在一点ζ，f‘(ζ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广
拉格朗日中值定理的推广是柯西中值定理

Answer 4

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: 　　(1)在[a,b]连续 　　(2)在(a,b)可导 　　则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b， 　　或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

参考资料：http://baike.baidu.com/view/103944.html?wtp=tt

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Answer 5

是指直角坐标系中一个光滑连续曲线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值等于横坐标两点之间某一点的导数；相当于在曲线上任意两点间能找到一点，这点的切线与任意两点的连线平行。