f(2x)=2f(x) ①
令x=0，得到
f(0)=2f(0)
则f(0)=0
则x | f(x)
下面证明f(x)无非零根：
用反证法：
假设m是f(x)=0的一个非零根，则
f(m)=0
并且f(m)=f(2m)=f(4m)=f(8m)=⋯=0
这与多项式f(x)的根是有限的矛盾！
因此
f(x)只有零根，即存在常数k，f(x)=kxⁿ
下面证明f(x)的次数只能是1：
对任意x，有
f(2x)=k(2x)ⁿ，根据①，有
k(2x)ⁿ=kxⁿ ，对任意x恒成立
则k=0或者 k≠0且2ⁿ=1
即k=0或者 k≠0且n=0
也即f(x)=0或者f(x)=kx
综上所述，题中结论成立。
令x=0，得到
f(0)=2f(0)
则f(0)=0
则x | f(x)
下面证明f(x)无非零根：
用反证法：
假设m是f(x)=0的一个非零根，则
f(m)=0
并且f(m)=f(2m)=f(4m)=f(8m)=⋯=0
这与多项式f(x)的根是有限的矛盾！
因此
f(x)只有零根，即存在常数k，f(x)=kxⁿ
下面证明f(x)的次数只能是1：
对任意x，有
f(2x)=k(2x)ⁿ，根据①，有
k(2x)ⁿ=kxⁿ ，对任意x恒成立
则k=0或者 k≠0且2ⁿ=1
即k=0或者 k≠0且n=0
也即f(x)=0或者f(x)=kx
综上所述，题中结论成立。
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第1个回答 2015-09-23
求导就行了
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