公民应履行的最根本的法律义务是遵守宪法和法律。
详细解释如下：
一、遵守宪法的含义
宪法是国家的根本大法，它规定了国家的根本制度、基本原则和公民的基本权利与义务。作为公民，遵守宪法意味着要遵循国家的基本法律框架，维护社会秩序，保障国家的长治久安。
二、履行法律义务的重要性
法律义务是法律规定的公民必须履行的责任。这些义务涉及多个领域，如经济、社会、文化等，是维护社会公平正义、保障个人权益的基础。公民履行法律义务，有助于构建和谐社会，促进社会的稳定发展。
三、法律义务与公民权利的关系
公民在享受法律赋予的权利的同时，也必须履行相应的法律义务。权利和义务是相互关联的，只有履行了义务，才能更好地保障自己的权利。因此，公民应自觉履行法律义务，这不仅是对自己负责，更是对社会、对国家负责的表现。
综上所述，公民应履行的最根本的法律义务是遵守宪法和法律，这不仅是对国家和社会的要求，也是对自己权益的保障。每个公民都应该自觉遵守法律，履行自己的义务，共同构建一个和谐、稳定的社会。