平移曲面的坐标曲线正交是一个重要的几何概念，它涉及到数学中的线性代数、微积分和几何学等多个领域。在三维空间中，我们可以通过以下数学公式来描述平移曲面的坐标曲线正交：
首先，我们需要定义一个平移曲面的方程。假设我们有一个曲面f(x,y,z)=0，我们可以将其沿着x轴、y轴或z轴平移a、b、c单位长度，得到一个新的曲面g(x',y',z')=0。这个新的曲面就是我们要研究的平移曲面。
接下来，我们需要找到这个平移曲面上的一条坐标曲线。在三维空间中，任意一条坐标曲线都可以表示为参数形式：x=x(t),y=y(t),z=z(t)，其中t是一个参数。为了描述这条曲线与平移曲面的正交关系，我们需要计算曲线上每一点到曲面的距离d。根据勾股定理，我们有：
d^2=(x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2
其中，x'、y'、z'是曲线上点的坐标，x、y、z是曲面上对应点的坐标。由于我们要求曲线与曲面正交，所以d应该等于0。这意味着曲线上的每一点都恰好位于曲面上。
然而，仅仅满足d=0并不能保证曲线与曲面完全正交。我们还需要考虑曲线的方向。在三维空间中，一个向量v可以表示为v=(v1,v2,v3)，其中v1、v2、v3是向量的三个分量。如果两个向量正交，那么它们的点积应该等于0：
v·w=v1*w1+v2*w2+v3*w3=0
将这个条件应用到我们的坐标曲线和曲面上，我们可以得到一个关于t的方程：
f(x(t),y(t),z(t))=g(x'(t),y'(t),z'(t))=0
这个方程表明，曲线上的每一点都满足曲面的方程。因此，我们可以得出结论：当且仅当坐标曲线满足上述两个条件时，它与平移曲面正交。