直线与圆相切的关系

Question

如题所述

Answer 1

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．

证明方法：（3种）
第一种
在直角坐标系中直线和圆交点的坐标应满足直线方程和圆的方程，它应该是直线 Ax+By+C=0 和圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F=0）的公共解，因此圆和直线的关系，可由方程组
Ax+By+C=0
x2+y2+Dx+Ey+F=0
的解的情况来判别
如果方程组有两组相等的实数解，那么直线与圆相切与一点，即直线是圆的切线。
第二种
直线与圆的位置关系还可以通过比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小来判别，其中，当 d=r 时，直线与圆相切。
第三种
利用切线的定义[1] ——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端．
例： 已知：△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．
求证：PA是⊙O的切线．
证明：连接EC．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E+∠EAC=90°．
∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，
例题配图
　∴∠E=∠CAP，
∴∠EAC+∠CAP=∠EAC+∠E=90°，
∴∠EAP=90°，
∴PA⊥OA，且过A点，
则PA是⊙O的切线．

Answer 2

相离，相切，相交

Answer 3

第一种
在直角坐标系中直线和圆交点的坐标应满足直线方程和圆的方程，它应该是直线 Ax+By+C=0 和圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F=0）的公共解，因此圆和直线的关系，可由方程组
Ax+By+C=0
x2+y2+Dx+Ey+F=0
的解的情况来判别
如果方程组有两组相等的实数解，那么直线与圆相切与一点，即直线是圆的切线。
第二种
直线与圆的位置关系还可以通过比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小来判别，其中，当 d=r 时，直线与圆相切。
第三种
利用切线的定义[1] ——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端．
例： 已知：△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．
求证：PA是⊙O的切线．
证明：连接EC．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E+∠EAC=90°．
∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，
例题配图
　∴∠E=∠CAP，
∴∠EAC+∠CAP=∠EAC+∠E=90°，
∴∠EAP=90°，
∴PA⊥OA，且过A点，
则PA是⊙O的切线．