a+b=20，a^2+b^2最小值为m，ab最大值n，m+n=

Question

设a，b为有理数且a+b=20，a^2+b^2最小值为m，ab最大值n，m+n=？
急！！

Answer 1

a+b=20，a^2+b^2最小值为m，ab最大值n，m+n=
m=(a+b)^2-2ab=400-2n

ab最大值n
a+b=20
a=b=10
n=ab=100
m=400-2n=400-2*100=200
m+n=100+200=300

Answer 2

a^2+b^2>=2ab
即m=2ab
a+b>=2根号ab
即ab<=(a+b)^2/4
所以n=400/4=100
所以m=200
于是m+n=300

Answer 3

m+n=300
b=20-a
m,n分别是二次函数y=2a^2-40a+400和
y=-a^2+20a的最小值和最大值，利用顶点坐标求出m，n

Answer 4

因为a+b=20 所以a=20-b
a＾2+b＾2＝（20-b）＾2+b＾2
＝b^2-20b+200
这是一个二次函数,开口向上,所以有最小值,即m
可以用-b/2a算,得b=10时,最小值为200 m=200

和上面同样的方法
ab=（20-b）b
=-b^2+20b
同样也是二次函数,开口向下,所以有最大值
得b=10时,最大值为100,即n=100

所以 m+n=300
(可能过程中运算不正确,不过思路就是这样,你可以再验算一下)

Answer 5

a+b≥2√ab,所以ab≤100,即ab的最大值是100.所以a²+b²有最大值是200.所以m+n=300.

Answer 6

由均值不等式
a^2+b^2≥(a+b)^2/2=200=m
当a=b=10得时候等号成立

同理
ab≤(a+b)^2/4=100=n
当a=b=10的时候等号成立

∴m+n=300

注意，在求m的时候，不可用a^2+b^2≥2ab，再把m当成2ab和n相加再求极值，因为n和m取极值不一定在同一点上取到，故这么做是错的