高一数学三角函数问题

Question

1.求函数y=7-4sinxcosx+4cos^2 x -4cos^4 x的最大值与最小值
2.已知函数y=cos(2x-π/3)+2sin(x-π/4)sin(x+π/4)
(1)求函数的最小正周期和图像的对称轴方程
(2)求函数在区间[-π/12,π/2]上的值域.
3.已知函数f（x）=√3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且图像的两相邻对称轴间的距离为π/2。
（1）求f（π/8）的值。
（2）将函数y=f（x）的图像向右平移一个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）。求y=g（x）的单调递减区间。

Answer 1

高中数学必修内容中，三角函数占了必修4的第一、第三两章，共24课时。许多同学尽管对三角函数的定义、图象和性质（奇偶性、单调性），以及三角函数值在各象限的符号、同角三角函数关系式、诱导公式、还有两角和（差）的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式等内容有了基本掌握，但对于相关题目的解答还是感到吃力，为此，笔者对课本上相关的习题作了深入分析，发现，要想迅速解决三角函数有关问题，还需要熟练掌握下面几类知识：

一，终边相同的角的概念

课本给出如下概念：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·2π,k∈Z},即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

初学任意角的内容，接触到这个概念，有些莫明其妙，刚把角的概念从0°～360°推广到任意角(any angle),包括正角、负角和零角，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，引入了“象限角(quadrant angle)”的概念，怎么又出来一个“终边相同的角”，它有什么意义呢？与象限角有何联系？

高中数学（必修4）P5练习第4题：

在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限的角？

(1)－54°18′ (2)395°8′ (3)-1190°30′

这道题的目的其实是告诉我们，不论是正角还是负角，不论是多大的角还是多小的角，在0°～360°范围内总能找到一个角与其终边相同。由于所有的角在直角坐标系都是以x轴的非负半轴为始边的，所以如果一个角能够在0°～360°范围内找到一个与它终边相同的，这是多么难得的事啊！同时开始，同时结束，这是值得研究的事情！这为后面诱导公式（Ⅰ）的出现埋下了伏笔。

另外，终边相同的角是以集合的形式给出的，又强化了集合观点的应用。而象限角的研究则强化了数形结合思想，为后面“三角函数值的符号法则”作了铺垫，也为其他几组诱导公式的出现提供了可能。应该说，终边相同的角是高中数学三角函数内容的起点，是一个承前启后的概念，需要认真掌握，深刻理解，才能为为后续课程的学习做好准备！

二、特殊角的弧度数及三角函数值

课本在利用直角坐标系中的单位圆定义了三角函数的正弦、余弦和正切函数之后，并没有特别指出特殊角的三角函数值的问题，但在课本诸多题目的解答过程中，时刻会遇到特殊角的三角函数值的求解问题，这就有必要对特殊角的弧度数及三角函数值加以整理，以求熟练运用。

其实，课本在P8就给出了一张特殊角的度数与弧度数的对应表：

度
0°
30°
45°

120°
135°
150°

360°

弧度

π/3
π/2

π
3π/2

这就是在要求同学必须掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系。

接着，课本在P15练习第3题给了一个填表题：

角α
0°
90°
180°
270°
360°

角α的弧度数

sinα

cosα

tanα

这里明确了坐标轴上的特殊角的弧度数以及三角函数值都须熟练掌握！但笔者更认为，这几个轴线角的弧度及三角函数值如果借助三角函数定义中的单位圆，利用数形结合，则更容易掌握。

另外，有必要强化对30°，45°，60°这三个特殊角的弧度数及三角函数值的熟练掌握。下面给出对应值，帮助同学们记忆。

角α的度数
30°
45°
60°

角α的弧度数
π/6
π/4
π/3

sinα
1/2
√2/2
√3/2

cosα
√3/2
√2/2
1/2

tanα
√3/3
1
√3

如果对这些特殊角的弧度数及三角函数值有了熟练掌握，那么在三角函数有关题目的解答中你将会如鱼得水，游刃有余。

三、三角函数值的符号法则与诱导公式

因为三角函数的定义是用直角坐标系中的单位圆给出的，所以三角函数值的符号就可以利用角的终边所在象限的点的坐标的符号来理解。用一句话来说就是：

“上正右余切一三”。

这句话的具体含义是，以三角函数值的正值为出发点，

坐标系的上方，正弦值为正；

坐标系的右边，余弦为正；

在第一三象限，正切值为正。

而后面五组诱导公式是结合单位圆中角的终边的对称性来给出的，其中的三角函数值的符号就是根据上述符号法则得来的。

其中的诱导公式一～四，即涉及形如2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α角的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。可以用一句话概括：

函数名不变，符号看象限。

而公式五和公式六，即关于形如π/2－α，π/2+α的角的公式，则需要特别注意，它们是正弦与余弦互化的重要依据。也可用一句话概括：

正余弦互变，符号看象限。

有了这些诱导公式，对于求任意大（或小）一个角的三角函数值问题，可以通过运用诱导公式将其转化成求一个与它相关的锐角的三角函数值的问题，体现了数学中化归与转化的思想。

四、三种三角函数的图像与性质

首先要熟练掌握正、余弦函数的“五点法”作图，分别如下：

正弦函数y=sinx的五点是：

x
0
π/2
π
3π/2
2π

y
0
1
0
－1
0

余弦函数y=cosx的五点是：

x
0
π/2
π
3π/2
2π

y
1
0
－1
0
1

对于正切函数y=tanx,要注意其定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z},而不是R.画图像时先要考虑其渐近线的位置，还有图像在一个周期内的零点，再在零点左右分别找两个对称的点，就基本可以确定图像的大致形状。

现将三个三角函数的性质列表如下：

y=sinx
y=cosx
y=tanx

图像(略）

定义域
R
R
{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}

值域
[-1,1]
[-1,1]
R

最值
最大值1，最小值－1
最大值1，最小值－1
无

周期
T=2π
T=2π
T=π

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数

单调性
[2kπ-π/2,2kπ+π/2]增

[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]减
[2kπ,2kπ+π]减

[2kπ+π,2kπ+2π]增
(kπ－π/2,2kπ+π/2)

增

五、三角函数图像的对称性

高中数学（必修4）第46页习题1.4A组第11题：

容易知道，正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心。除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？

你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？

对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题。

由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，，其对称中心坐标为(kπ,0),k∈Z.

正弦曲线是轴对称图形，其对称轴方程是x=π/2+kπ,k∈Z.

同理，由余弦函数的周期性可知，余弦函数的对称中心坐标为(π/2+kπ,0),k∈Z.对称轴方程为x=kπ,k∈Z.

正切曲线的对称中心坐标为(kπ/2,0),k∈Z.但正切曲线不是轴对称图形

Answer 2

2.解：
y=cos(2x-π/3)+2sin(x-π/4)sin(x+π/4)
=cos(2x-π/3)+2[-1/2*[cos2x-cos(π/2)]
=cos(2x-π/3)-cos2x
=2sin(2x-π/6)sin(π/6)
=2sin(2x-π/6)
(1)最小正周期为π，图像的对称轴方程为π/12+ -（π/4）*k（k是整数）
(2)在区间[-π/12,]上的值域：
π/12-π/4=-π/6,π/6<-π/12π<π/12;
π/12+ π/4<π/2<π/12+ (π/4)*2
值域为[y([-π/12),2],即[-√3,2]

3.f（x）=√3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0＜φ＜π，ω＞0)
=-2（1/2*cos(ωx+φ)-√3/2*sin(ωx+φ)）
=-2cos(ωx+φ+π/3)
f（x）为偶函数,且0＜φ＜π，则φ+π/3=π，φ=2π/3；
图像的两相邻对称轴间的距离为π/2，则周期T=π,则ω=2；
f（x）=2cos(2x).
剩下的自己做。。。本回答被提问者采纳

Answer 3

1、y=cosx-sinx=根号2乘以cos(x+pai/4)。它是y=cosx的图象向左平移了pai/4个单位。y=cosx本身是偶函数，关于轴对称，所以需将它再向左平移个单位。m=(pai*3)/4.
2、
因为关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)。f(4+x)=f(4-x)=f(x-4)，则有f(x)=f(x+8)，所以f(x)是周期函数，一个周期为8。f(x)=cos[(pai/4)*x]

Answer 4

1
1+tanx>0且x不等于kπ+π/2(k属于z)
25-x^2>0(分母不为0)
求他们并集就可以了
2
题目好奇怪，我就晓得arcsin3/5=53`
3
始终把握x才是自变量，向左平移就+向右平移就-
2x=2(x-π/12)+π/6
故向右平移π/12

Answer 5

第一题 最小值6 最大10
后面题目好长！！！