任何无穷小量都是有界量吗？

Question

如题所述

Answer 1

根据数学定义，一个数列 {a_n} 为无穷小量，当且仅当对于任意的正实数 ε，总存在正整数 N，使得当 n > N 时，|a_n| < ε。

另一方面，一个数列 {a_n} 为有界量，当且仅当存在正实数 M，使得对于所有的正整数 n，有 |a_n| < M。

所以，要证明任何无穷小量也都是有界量，需要证明存在一个正实数 M，使得对于任意的正实数 ε 和正整数 N，当 n > N 时，有 |a_n| < M。

这是不成立的，因为无穷小量的确界没有限制。

举个例子，数列 {1/n} 中的每个项都是无穷小量，但数列并不是有界量，因为它的项可以越来越小但不会停止在某个固定的值上。

因此，该命题是错误的，任何无穷小量不一定是有界量。