在高等数学的领域里，反函数是函数理论中的核心概念，它建立在双射映射的基础之上。首先，让我们明确反函数的定义：当一个数集 Y 上的双射映射 f: D → Y 对于集合 D 中的每一个元素 x，都有且仅有一个 y 与之对应，使得 f(x) = y。这种一对一的对应关系，就构成了 f 的反函数 f^(-1)，记为 y = f^(-1)(x)。
关键在于，反函数的存在要求原函数 f 是双射，意味着它既是一对一（单射），也是多对一（满射）。在实际应用中，我们通常更关注的是双射，因为它确保了每个输入 x 只对应一个输出 y。定义域 D 和值域 Y 在反函数中会互换，即原函数 f 的值域是反函数的定义域，反之亦然。
从几何角度，原函数与反函数的曲线关于直线 y = x 对称，这反映在关系式 f(f^(-1)(x)) = x 和 f^(-1)(f(y)) = y 中，它们共同构成了恒等映射。这个性质在解题和理解函数性质时非常实用，如将 f 的应用变形为 (f^(-1) ∘ f)。
反函数的存在性并非自动赋予，需要通过水平线检验来判断。如果对于每一个水平线，与函数曲线只有一个交点，那么这个函数就有反函数。例如，对于三角函数 sin(x) 和 cos(x)，需要在特定单调区间内检验，比如 [-π/2, π/2] 和 [0, π]。
求反函数通常包含以下步骤：首先确认原函数是否为双射；然后通过反解表达式找到 y 关于 x 的关系，注意任何限制条件（如分母不为零，根号下的值大于等于零等）；最后交换 x 和 y 的角色，得到反函数。
以具体实例为例，如求 g(x) = √(x + 3) 的反函数，首先要确认函数在 [-3, +∞) 上满足水平线检验，接着解出 y^2 = x + 3 得到 y = √(x + 3)，并注意到定义域限制为 [-3, +∞)。
理解反函数的核心在于理解其本质：它是一个双射映射的逆过程，保持了原函数的对应关系。同时，定义域和值域的互换性，以及反函数图像关于直线 y = x 的对称性，都是理解反函数的关键点。