最佳折中解

Question

如题所述

Answer 1

利用奇异值分解法公式:

G=UWV^T，G^-g=VW^-1U^T (5.38)

模型分辨率矩阵可以写成如下形式:

R=VW^-1U^TUWV^T=VW^-1WV^T (5.39)

其中:G为M×N矩阵;U为M×r矩阵;V为N×r矩阵;W为r×r对角矩阵。

为了方便，设G为M×M满秩方阵，则W^-1W为M×M单位矩阵。式(5.39)具体形式为

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当删除一些小的奇异值，只保留K个奇异值时，相当于用近似矩阵W_e代替W，则模型分辨率矩阵变为

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根据矩阵乘法规则公式，由于左边的行向量多了很多零元素，所以删除小的奇异值之后分辨率矩阵每个元素都比原来要小，也就是说比原来更加偏离单位矩阵。因此从展布计算公式可以得出较大的展布值，相当于分辨率减小。因此删除越多的奇异值，模型分辨率越小。因为奇异值分解法中对角线的奇异值是从大到小排列的，所以保留较小的奇异值能让分辨率矩阵的分辨率提高。同理根据数据分辨率矩阵公式也能得出相同的规律:删除越多的奇异值，数据分辨率越小。

所以Wiggins采用删去较小的特征值(奇异值)的方法虽然减小了解的方差，但是同时也减小了解(模型)的分辨率。因此获得分辨率高，方差小的解，即所谓“最优解”是不可能的，只能在模型分辨率和方差之间折中平衡，以获得方差合理、分辨率又不低的“最佳折中解”。

令保留的奇异值(特征值)个数K从小到大逐渐变化，由于奇异值的改变对所有模型参数都有影响，利用式(5.37)计算模型的任意第m个参数的方差

(K)随K的变化曲线，利用式(5.14)计算第m个模型参数的分辨核h_m(K)随K的变化曲线。为了方便把这两个公式重新写在这里。

方差计算公式:

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其中:K为保留的奇异值的个数。

模型分辨核计算公式:

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注意:r_kj用式(5.41)计算。

这两条曲线如图5.2所示。

图5.2 模型第m个参数分辨率和方差随K值变化示意图

图5.3 模型第m个参数方差与分辨率的折中曲线

从图5.2可知:随着K值的增加，模型的方差增加，但模型的分辨核减小(即分辨率增加)。反之，随着K值的减小，模型的方差减小，但模型的分辨核增加(即分辨率减小)。

如果令横轴为模型方差，纵轴为模型分辨率，可以绘制出折中曲线，如图5.3所示。

从图5.3可知:保留小的奇异值(即K值增加)，模型方差增加，但模型的分辨率也增加(分辨核h_m减小)。反之，删除小的奇异值(即K值减小)，模型方差减小，但模型的分辨率也减小(分辨核h_m增大)。因此我们要取折中，牺牲一点分辨率以获得模型方差的减小。