利用奇异值分解法公式:
G=UWVT,G-g=VW-1UT (5.38)
模型分辨率矩阵可以写成如下形式:
R=VW-1UTUWVT=VW-1WVT (5.39)
其中:G为M×N矩阵;U为M×r矩阵;V为N×r矩阵;W为r×r对角矩阵。
为了方便,设G为M×M满秩方阵,则W-1W为M×M单位矩阵。式(5.39)具体形式为
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当删除一些小的奇异值,只保留K个奇异值时,相当于用近似矩阵We代替W,则模型分辨率矩阵变为
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根据矩阵乘法规则公式,由于左边的行向量多了很多零元素,所以删除小的奇异值之后分辨率矩阵每个元素都比原来要小,也就是说比原来更加偏离单位矩阵。因此从展布计算公式可以得出较大的展布值,相当于分辨率减小。因此删除越多的奇异值,模型分辨率越小。因为奇异值分解法中对角线的奇异值是从大到小排列的,所以保留较小的奇异值能让分辨率矩阵的分辨率提高。同理根据数据分辨率矩阵公式也能得出相同的规律:删除越多的奇异值,数据分辨率越小。
所以Wiggins采用删去较小的特征值(奇异值)的方法虽然减小了解的方差,但是同时也减小了解(模型)的分辨率。因此获得分辨率高,方差小的解,即所谓“最优解”是不可能的,只能在模型分辨率和方差之间折中平衡,以获得方差合理、分辨率又不低的“最佳折中解”。
令保留的奇异值(特征值)个数K从小到大逐渐变化,由于奇异值的改变对所有模型参数都有影响,利用式(5.37)计算模型的任意第m个参数的方差
方差计算公式:
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其中:K为保留的奇异值的个数。
模型分辨核计算公式:
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注意:rkj用式(5.41)计算。
这两条曲线如图5.2所示。
图5.2 模型第m个参数分辨率和方差随K值变化示意图
图5.3 模型第m个参数方差与分辨率的折中曲线
从图5.2可知:随着K值的增加,模型的方差增加,但模型的分辨核减小(即分辨率增加)。反之,随着K值的减小,模型的方差减小,但模型的分辨核增加(即分辨率减小)。
如果令横轴为模型方差,纵轴为模型分辨率,可以绘制出折中曲线,如图5.3所示。
从图5.3可知:保留小的奇异值(即K值增加),模型方差增加,但模型的分辨率也增加(分辨核hm减小)。反之,删除小的奇异值(即K值减小),模型方差减小,但模型的分辨率也减小(分辨核hm增大)。因此我们要取折中,牺牲一点分辨率以获得模型方差的减小。