请问这两道二重积分的题怎么做？

Question

谢谢

Answer 1

1、这两道二重积分的题，做的过程见上图。

2、第一题，二重积分，由于积分区域是圆环域，所以，计算二重积分时，应该选极坐标系进行计算。

3、二重积分的第二题，将积分拆开成两个，第二项二重积分，利用对称性，其积分为0。

第一项二重积分计算，利用极坐标系化为二次积分计算。

具体的这两道二重积分题，计算的详细步骤及说明见上。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

利用极坐标计算下列二重积分：
(1). <D>∫∫√(x²+y²)dxdy；其中D为曲线x²+y²=4；x²+y²=1所围成的在第一象限内的区域。
解：原式=∫<0,π/2>dθ∫<1，2>r²dr=(π/2)(1/3)r³∣<1，2>=(7/6)π;
(2)。<D>∫∫(x+y)dxdy；其中D为由曲线 x²+y²=4x所围成的闭区域；
解：D: (x-2)²+y²=4；是园心在(2，0)，半径r=2的园；
∴ 原式=∫<0，π/2>(cosθ+sinθ)dθ∫<0,4cosθ>r²dr
=∫<0，π/2>(cosθ+sinθ)[(1/3)r³∣<0,4cosθ>dθ
=(64/3)∫<0，π/2>(cosθ+sinθ)cos³θdθ
=(64/3)∫<0,π/2>[(cosθ)^4]dθ+(64/3)∫<0,π/2>sinθcos³θdθ
=(64/3)∫<0,π/2>[(1+cos2θ)²/4]dθ-(64/3)∫<0,π/2>cos³θd(cosθ)
=(16/3)∫<0,π/2>(1+2cos2θ+cos²2θ)dθ]-(64/3)(1/4)(cosθ)^4∣<0,π/2>
=(16/3)[θ+sin2θ+(1/2)θ+(1/8)sin4θ]<0,π/2>-(16/3)(cosθ)^4]∣<0,π/2>
=(16/3)[(3/2)θ+sin2θ+(1/8)sin4θ]<0,π/2>-(16/3)(cosθ)^4]∣<0,π/2>=4π+(16/3);
注：其中∫cos²2θdθ=(1/2)∫(1+cos4θ)dθ=(1/2)[θ+(1/4)sin4θ]=(1/2)θ+(1/8)sin4θ;