1、已知 cos(a+b)=4/5 ,cos(a-b)=-4/5 , 且 3π/2< a+b< 2π , π/2<a-b<π ,求 cos2a 和 COS2b
解：因为3π/2< a+b< 2π，故：sin(a+b) <0
又：cos(a+b)=4/5，故：sin(a+b)=-3/5
因为π/2<a-b<π，故：sin(a-b)＞0
又：cos(a-b)=-4/5，故：sin(a-b)=3/5
故：cos2a=cos[(a+b)+(a-b)]= cos(a+b) cos(a-b)- sin(a+b) sin(a-b)=-7/25
Cos2b=cos[(a+b)-(a-b)]= cos(a+b) cos(a-b)+sin(a+b) sin(a-b)=-1
2、已知tana, tanb 是关于X的方程 X ²-4pX-3=0 的两个根(P属于R),且 a+b≠ Kπ+π/2(K属于Z) , 求cos ² (a+b) +p* sin (a+b)* cos (a+b)
解：因为tana, tanb 是关于X的方程 X ²-4pX-3=0 的两个根
故：tana+tanb=4p，tana*tanb=-3
故：tan(a+b)={tana+tanb}/(1-tana*tanb)=p
又：sin² (a+b)+cos² (a+b)=1
故：cos ² (a+b) +p* sin (a+b)* cos (a+b)
=[ cos ² (a+b) +p* sin (a+b)* cos (a+b)]/[ sin² (a+b)+cos² (a+b)][分子、分母同时除以cos² (a+b)]
=[1+p*tan(a+b)]/[tan² (a+b)+1]
=(1+p²)/(p²+1)
=1
3、设a,b∈ {M|M=2^S+T , 1<S<T ≤4,且S,T∈ Z} ，1)求a,b ，(2)求函数Y=a*SIN2X + b*COS2X 的最大值与最小值
解：(1)a,b∈ {M|M=2^S+T , 1<S<T ≤4,且S,T∈ Z}
故：S＝2时，T＝3或4；S＝3时，T＝4
S＝2、T＝3时，M=2^S+T＝7；S＝2、T＝4时，M=2^S+T＝8；S＝3、T＝4时，M=2^S+T＝12
故：a,b∈{7,8,12}
(2)求函数Y=a*SIN2X + b*COS2X 的最大值与最小值，也就是求√(a²+b²)的最大值
√(a²+b²)的最大值是√(8²+12²)＝4√13
故：函数Y=a*SIN2X + b*COS2X 的最大值为4√13，最小值－4√13
4、已知三角形ABC 的三个内角 A,B,C满足A+C=2*B,且 1/COSA + 1/COSC = -√2/ COSB求 COS (A-C)/2 的值
解：因为A+C=2*B，故：B=π/3,A+C=2π/3
故：1/COSA + 1/COSC = -√2/ COSB＝-2√2
即：COSA+COSC=-2√2* COSA*COSC
COS[(A+C)/2+(A-C)/2]+COS[(A+C)/2+(A-C)/2]=-√2* [COS(A+C)+COS(A-C)]
2COS[(A+C)/2] *COS[(A-C)/2]= -√2*{-1/2+2 COS² [(A-C)/2]-1}
COS[(A-C)/2]=3√2/2-2√2* COS² [(A-C)/2]
2√2* COS² [(A-C)/2]- COS[(A-C)/2]- 3√2/2=0
故：COS (A-C)/2＝-√2/2, COS (A-C)/2＝3√2/4(大于1，故舍去)
故：COS (A-C)/2＝-√2/2
5、已知a,b为实数,a²+b²=a²*b² ,且 a*b + 2 <0 求证: [a*√（1-1/a²） + b*√（1-1/b²）] ² / a*b(a*b+2) = (1/a-1/b) ²
解：因为a²+b²=a²*b²，故：1/ a²+1/ b²=1,故：1-1/a²＝1/ b²；1－1/ b²＝1/ a²
然后代入，左右两边化简即可