求曲线运动中的路程问题

Question

例如平抛运动等，最好用高数，实在不行用微元法，用字母代表物理量得出一般性结论。（具体一点的方法，如用积分请说明对什么积分）

Answer 1

点的曲线运动轨迹可以是，空间任意曲线，可以用不同的方法表示曲线运动。普通采用直角坐标系的参数方程形式的运动方程。

以平抛运动为例，参数方程：

                        x=v0t             (1)

                        y=gt^2/2        (2)

消去t 就的得轨迹方程

                        y=(g/2v0^2)x^2         (*)

 

求路程就是求轨迹的长度，

由弧微分公式   ds=√(dx^2+dy^2)=(√(1+y'^2))dx  (**)

其中，              y'=dy/dx=(g/v0^2)x      (a)   

                         y'^2=(g^2/v0^4)x^2      (b)

                         ds=√(1+y'^2)dx=(√(1+(g^2/v0^4)x^2) )dx

 进一步化简，并整理成可查积分表的形式

                        ds=(g/v0^2)√(a^2+x^2)dx    ,   其中，a^2= v0^4/g^2  

积分                 s=∫(g/v0^2)√(a^2+x^2)dx

查积分表   

                        s=(g/v0^2)((1/2)x((√x^2+a^2)+(1/2)a^2*ln(x+√(x^2+a^2)))+c

根据初始条件

                        x=0 ,s=0 ,  c=(1/2)a^2*lna    

              

                   

追问

没看懂，再解释一下呗。

追答

能具体点吗，什么地方不明白？

追问

什么叫可查积分表？

追答

最简单的积分可以直接算出来，但复杂的必须用一些技巧，甚至是必须有高超的技巧方能解出，是一般人力所不能及的，也是不必要的，所以有积分表供查用。“表”按被积函数的类型分类，又有一定的形式。
本题 s=∫√(1+y'^2)dx=∫(√(1+(g^2/v0^4)x^2) )dx
直接查积分表示查不到的，变为s=∫(g/v0^2)√(a^2+x^2)dx
就可以查 ∫ √(a^2+x^2)dx 的结果。

Answer 2

写出速率关于时间的函数，然后对时间积分。

举个例子，平抛运动的抛物线长度是如何计算的~

(第一步表达式里面应该是∫√(v0²+(gt)²)dt，我积分算符dt漏写了d)

追问

好厉害，也好复杂，可是你跟另一个回答者的答案等价吗？请说明一下。
另外，我是高一的，积分和物理竞赛自学，对你的第一行到第二行的等价，我表示没看懂，请再解释一下。
我先加分，期待你的回答。

追答

是等价的，我是直接的对速率表达式积分，就是利用物理思想列式，交给数学硬算。

而另外一位回答者是用的抛物线的曲线积分，是很方便的计算方法。不过我也只有高二，我的高数是自学的所以比较山寨，所以我只能看懂，并不会应用....嗯，如果能理解的话用那种方法是更好的，因为计算量小很多。

其实我换元作t=v0tanu/g是为了凑出第二类换元的表达式，以便获得tan²+1=sec²的形式，用以消去根号。至于u=arctan(gt/v0)恰好是速度偏角的情况，那只是物理和数学的巧合~

我猜测你所不理解的等价是第二类换元积分法，我附上∫√(x^2+a^2)dx的算法，对你理解这个∫√(v0^2+(gt)^2)dt或许有帮助。

追问

能不能直接用瞬时速率v'=√（g²t²+v初²），再对t直接积分，
∫√（g²t²+v初²）*dt=1/3v初*（g²t²+v初²）^3/2，就是我不会继续做了，有个二分之三次方，只能换元吗？

追答

你可以用分部积分试一试，不过计算量也挺大的。直接积分是积分不出来的...

换元+降次主要是可以用的现成的公式比较多~

另外我看你这方法……你大概是没理解积分算符的含义吧。dt和d√（g²t²+v初²）是两个东西，它们不是同阶无穷小。∫√（g²t²+v初²）*dt≠1/3v初*（g²t²+v初²）^3/2，只有∫√（g²t²+v初²）*d√（g²t²+v初²）才是1/3v初*（g²t²+v初²）^3/2

本回答被提问者采纳