难题（？），相对论好的筒子们进。高分悬赏

Question

一定要写在开头的：
此题最高150分悬赏（抱歉这是后期追加的最高分了，150还是200来着？），因为BD的设定我不会把分值直接设在问题上，你要是看到我的头衔都还不能相信此题有悬赏的话……自重

以下正文
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首先，此题不是我出的，是我去补课时在某物理学院走廊看到的，觉得很有意思于是顺手抄了下来上来询问
抄这个题的原因是，【出题者扬言要推翻相对论】（重点句）

我一点都不了解相对论（我物理差得很极限而且我是高中生），所以对题目有任何疑问请不要质问我，因为我或许根本不知道你在问什么。我只能保证我没有抄错，至少关键句、数值、单位等一定没有错（←核对了三遍的某），于是对题目理解不能的众位自行讨论解决=口=

其次，按照出题者的意图，那些后面跟着的小题什么的只是作为一个引导思考的作用。换句话说，要的并不只是一个答案，而是要每个小题答案的最完整解释（最少要有一个完整的思路）
请不要因为我是高中生就根本不解释或者胡乱解释了事= =我会将答案直接发给出题者，于是请将我当成一个物理高材生|||

最后，出题者说：“答案不能与相对论发生矛盾，且经得起驳论。”
——纯引用。于是请各位仔细思考自己的答案有无缺陷谢谢

题目在补充问题里，主要是太长了我怕发不上来
尽力作答谢谢，分数不会亏待的=v=
题1：假设有一艘质量为1000kg的宇宙飞船，在100000N恒力（实际作用到飞船的力）作用下，从地面（假定飞船不受地心引力的作用）直线飞向太空。当飞船飞行30天——2592000s（以地球的钟计算）时，
（1）从地球考察，飞船速度为多少
（2）从飞船考察，飞船飞行了多少时间
（3）用地球和飞船的尺量度，飞船离地球各有多远（假设地球是静止不动的）

题2：假设一艘宇宙飞船在无引力空间由静止（相对于地球，并假定地球静止不动）以9.81米平方/秒平方加速度做直线运动。飞船内悬挂一个摆锤式钟，其结构与地球上的另一个挂钟是一模一样的。按照广义相对论的“等效原理”，两钟的行走速度是完全相同的，但是，按照狭义相对论，运动物体的长度会在运动方向上发生“收缩”，故飞船上的钟摆长度会随飞船速度的增加而不断缩短，于是，飞船上的钟会越来越快
（1）地球上的钟和飞船的钟究竟是一样快还是不一样快
（2）究竟是“运动的钟慢”正确还是“运动的钟快”正确？如果把摆锤式钟换成石英钟或机械表，情况又将如何
（3）若飞船以100米平方/秒平方加速度从空间A点飞到相距2×10(12次方)m的B点（飞船初速为0），石英钟计时，从地球和飞船观察，飞船的航程和平均航速各为多少

Answer 1

题1：变加速问题，涉及到的微积分计算稍微有点复杂，但也不算难，解答如下：
(1) 由F=d(mv)/dt 可得：
Fdt=d(mv)=m0d(v/√(1-v²/c²))
两边定积分得：
F(T-0)=m0[V/√(1-V²/c²)-0]，即
FT√(1-V²/c²)=m0V
上式已应用边界条件t=0时v=0，t=T时v=V。
由上式可解得：
F²T²(1-V²/c²)=(m0V)²
V²=1/[1/c²+(m0/ FT)²]=(cFT)²/(F²T²+c²m0²)
V=cFT/√(F²T²+c²m0²)
=c*100000*2592000/√(100000²*2592000²+300000000²*1000²)
=2.592c/√(1²*2.592²+3²*1²)=2.592c/√(6.718464+9)≈2.592c/3.96465
≈0.65378c≈1.96*10^8m/s
更精确数据约是196133238.588m/s。
(2) 飞船处在恒力提供的变加速系中，其固有微分时间dt’与地球微分时间dt的关系为
dt=dt’/√(1-v²/c²)
而v是t的函数，由(1)知：
v²/c²=1/[1 +(m0c/ Ft)²]，
1-v²/c²=(m0c/ Ft)²/[1 +(m0c/ Ft)²]
=c²m0²/(F²t²+c²m0²)=1/(1+ t²F²/c²m0²)
故
dt’= dt/√(1+ t²F²/c²m0²)
=(cm0/F)d[arsinh(tF/cm0)]
=(cm0/F)dln[(tF/cm0)+√(1+ t²F²/c²m0²)]
用到反双曲正弦函数的微分。
两边定积分得：
T’=(cm0/F)[arsinh(TF/cm0)]-0
=(cm0/F)ln[(TF/cm0)+√(1+ T²F²/c²m0²)]
=(cm0/F)ln[(100000*2592000/300000000*1000)+√(1+ T²F²/c²m0²)]
=(300000000*1000/100000)ln[0.864+√(1+ 0.864²)]
≈3000000ln2.18555
≈2345600s
≈27.15days
更精确数据约是2345603.369s。
(3) 从地球上测量，距离变化量与速度、时间之间关系为
ds=vdt= cFtdt/√(F²t²+c²m0²)=(c²m0/F)d√(1+F²t²/c²m0²)
两边定积分得：
S-0=(c²m0/F)[√(1+F²T²/c²m0²)-1]
S=(c²m0/F)[√(1+100000²2592000²/300000000²1000²)-1]
=(300000000²*1000/100000)[√(1+0.864²)-1]
≈2.894*10^14m
更精确数据约是289395543963403.286m。
此时从飞船上测量，
S’=S*√(1-V²/c²)=S/√(1+ T²F²/c²m0²)
=S/√(1+ 0.864²)
≈2.19*10^14m
更精确数据约是218981810457393.955m。

题2：问题的提法有问题，前提中也隐含着错误。首先，时间是相对的，不同参考系中的时间不能直接作比较，只能取从同一参考系对不同参考系中的事物过程的测量时间作比较；其次，由于时间和空间是相对的，惯性加速度也是相对的，飞船中物体的惯性加速度在地球上的测量结果与在飞船上的测量结果不一样，不再是不变的9.81m/s²，而是随速度的增加而变小；再次，虽然飞船上的钟摆长度会随飞船速度的增加而不断缩短，但飞船上的相对加速度变得更小，故钟摆周期反而变长，而不是越来越快。至于加速度的量纲错误，可能是疏忽所致，这里只申明是米/秒平方而不是米平方/秒平方。
(1) 首先，地球上的钟和飞船的钟由于是不同参考系中的，故不能直接比较，只能从其中一个参照系进行比较，比较结果因参照系不同而不同，具有相对性；其次，这里地球和飞船都处在同样加速度9.81m/s²的非惯性系中，故由非惯性系造成的时钟延缓效应一样，因此两者的时钟快慢只取决于它们的瞬时相对速度大小。从地球上看，由于飞船加速运动，故将观测到飞船上的钟越来越慢；而从飞船上看，由于地球相对加速运动，故将观测到地球上的钟越来越慢；由于是不同参照系中的比较结果，因此这两者并不矛盾。
至于原题所说“飞船上的钟摆长度会随飞船速度的增加而不断缩短，于是，飞船上的钟会越来越快”，这一推理是错误的，因为只考虑到钟摆长度的相对性，而没有考虑到引起钟摆动的相对加速度的相对性。
当飞船相对地球速度为v时，其固有加速度g=9.81m/s²与在地球上的观测值g’不一样，它们的关系可以这样推出：
在飞船上自由释放一个物体，它将做自由落体，g=9.81m/s²；由于是瞬时考察，可以认为飞船以匀速v运动在加速度为g的重力场中，物体“下落”距离h与时间t皆是小量，关系为h=0.5gt²，其时空坐标为(0,0),(-h,t)；这一现象在地球上测量，由于是不同时间不同运动方向坐标位置，其相对下落距离缩短为h’=h√(1-v²/c²)，下落时间延长为
t’=(t-vh/c²)/√(1-v²/c²)
=(t-0.5vgt²/c²)/√(1-v²/c²)
=t/√(1-v²/c²)，
这里由于vh/c²=0.5vgt²/c²<<t是关于小量t的二阶小量，所以在瞬时分析中取极限t->0时可以忽略。于是相对加速度
g’=2h’/t’²
=2h√(1-v²/c²)/[t/√(1-v²/c²)]²
=g√(1-v²/c²)³
这一结论还可以从速度合成公式得到。由于
x’=(x+vt)/√(1-v²/c²), y’=y, z’=z,
t’=(t+vx/c²)/√(1-v²/c²);
V’(x’)=dx’/dt’
=[(dx+vdt)/√(1-v²/c²)]/[(dt+vdx/c²)/√(1-v²/c²)]
=[V(x)+v]/[1+vV(x)/c²]
故：
a’(x’)=dV’(x’)/dt’={(1-v²/c²)dV(x)/[1+vV(x)/c²]}/[(dt+vdx/c²)/√(1-v²/c²)]
=a(x)√(1-v²/c²)³/[1+vV(x)/c²]³
这里对于飞船上的钟摆，其摆动主要是在垂直于飞船运动方向上的小角度运动，在飞船运动方向上的相对运动V(x)很微小，且是周期性往复的，平均速度可以认为是零，可以认为vV(x)/c²->0，把加速度a用g代替，即有
g’=a’(x’)=g(x)√(1-v²/c²)³
假设摆锤的长度为L，其在飞船上的固有周期为T=2π√(L/g)，其在地球上的观测周期为
T’=2π√(L’/g’)= 2π√[L√(1-v²/c²)/g√(1-v²/c²)³]=T/√(1-v²/c²)
也就是虽然摆长变短，但其相对加速度更小，故总体上周期反而变长，而不是越来越快；
换个角度分析，由于摆锤的角度很小，其在运动速度方向x轴上相当于x坐标不变，只在垂直方向上像弹簧一般往复运动，故其摆动时间的地球观测值膨胀，比其固有周期长。
(2) 运动的钟慢。由上述分析可以看出，推出“运动的钟快”错误是没有考虑到加速度的相对性。如果把摆锤式钟换成石英钟或机械表，情况仍然是运动的钟慢。
(3) 从地球上看飞船是匀加速直线运动，加速度a=100 m/s²，路程S=0.5aT²=2×10^12m，末速度是
V=aT=√(2aS)=√(2*100*2*10^12)m/s=2*10^7m/s=c/15
时间为 T=V/a=(2*10^7/100)s=200000s
平均速度为
U=S/T=0.5aT=0.5V=c/30=10^7m/s
从飞船观察，飞船没有动，速度始终为0；但地球相对远离，路程为
S’=S√(1-V²/c²)=0.5aT²√(1-a²T²/c²)=S√(1-1/15²)=4√14*S/15≈1.99555×10^12m
飞船固有时间流逝t’与地球观测时间流逝t之间的瞬时微分关系为
dt’=dt√(1-v²/c²)=dt√(1-a²t²/c²)=(a/c)d[0.5t√(c²/a²-t²)+0.5arcsin(at/c)c²/a²]
定积分得
T’=(0.5a/c)[T√(c²/a²-T²)+arcsin(aT/c)c²/a²]-0
=0.5[T√(1-V²/c²)+arcsin(V/c)c/a]
=0.5[200000√(1-1/15²)+arcsin(1/15)*3000000]s
≈199851.753s
平均速度为
U’=S’/T’≈ 9.985×10^6m/s.

Answer 2

opera真垃圾，乱码，楼上也是我…

第一题用变质量的方法，对任意时刻分析用动量定理FT=MV
得常微分方程：
F*dT=dV*M/{[1-(V/C)^2]^0.5}
初始化条件：T=0,V=0;光速C=3E8m/s
这个微分方程很好解，直接分离变量积分，代入初始条件去常数后可解得到普通方程：
F*T=M*1.5E8*ln[(1+V*3.333…E-9)/(1-V*3.333…E-9)]
把F、T、M代入可算得V=2.095E8m/s。

而按经典力学算得V'=FT/M=2.592E8m/s

时间和距离也可以用这个方法算。
第二题已经有人回答了。

Answer 3

1)v=at=ft/m=259200000m/s
2)2592000s
3)s=1/2at^2=335923200000000m
(忽略相对论效应)
你要考虑我不做了，太麻烦了 要积分，是个变质量体系的加速度，恶麻烦

1)不一样
2)运动的慢，换成别的也是（因为忽略了时间的变化）
3)又是变质量体系运动描述

具体参考 物理系的力学的课本 懒得花一个小时来回答你了

Answer 4

简单
无论何时，动量定理都成立
因此第一题用动量解，变质量什么的就不用积分了

第二，狭义相对论的相对时空观弄清楚。比较的时候必须用相对时空观，如果还停留在静止时空观就迷糊了！！！

Answer 5

Answer 6

第二：－，不一样。＝：运动速度越快钟表越慢、其他一样。三：其速度远小于（10七次方）米/S.路程不变