连续函数与连续函数相加可能离散吗

Question

如题所述

Answer 1

若函数f(x)和g(x)在区间I上都连续，则函数h(x)=f(x)+g(x)在区间I上连续。
证明：
函数f(x)和g(x)在区间I上都连续等价于
对于任意x_0∈I，
lim_(x→x_0)f(x)=f(x_0)，
lim_(x→x_0)g(x)=g(x_0)。
由极限的运算法则得到，
lim_(x→x_0)(f(x)+g(x))=f(x_0)+g(x_0)。
即对于任意x_0∈I，
lim_(x→x_0)h(x)=h(x_0)。
所以函数h(x)=f(x)+g(x)在区间I上连续。
由极限的定义得到的极限的运算法则，可以推出由连续函数经四则运算得到的函数，仍然是连续函数，即连续函数对四则运算封闭。本回答被网友采纳