连续函数求导后一定是连续函数吗

Question

如题所述

Answer 1

连续函数求导后不一定是连续函数。

1、连续函数求导后导数连续的例子：

f(x)=x，f'(x)=1，显然f'(x)在(-∞,+∞)内连续。

2、连续函数求导后导数不连续的例子：

f(x)=x²sin(1/x) (x≠0)；f(0)=0；

f'(x)=2xsin(1/x) -cos(1/x) (x≠0)；

f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)[xsin(1/x)]=0；

x趋于0时，limf'(x)不存在，f'(x)在x=0处不连续。

扩展资料：

函数连续的定理：

1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

2、连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

3、连续函数的复合函数是连续的。

参考资料来源：百度百科-连续函数

Answer 2

不一定
(1) 连续函数的导数连续的例子很多,例如
f(x)=x,f'(x)=1,显然f'(x)在(-∞,+∞)内连续
(2) 连续函数的导数不连续的例子：
f(x)= x²sin(1/x) (x≠0)
0 (x=0)
f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)[xsin(1/x)]=0
∴f'(x)= 2xsin(1/x) -cos(1/x) (x≠0)
=0 (x=0)
f'(x)在x=0处不连续本回答被网友采纳

Answer 3

这个问题答案不一定。即便你假设这个连续函数是初等函数，且不是像y=|x|这种在区间里还不可导的奇葩，你也不能确定它的导数是不是初等函数(反例在知乎上有，百度可以查到2006年有个文献上也有)，进而确定连续性。
这个一般结论是无法成立的。最直接的办法还是看这个导函数是不是初等函数。是初等函数只要有定义的地方必连续。

Answer 4

你原本的函数本来就不是连续的

Answer 5

不一定

方法如下图所示，
请认真查看，
祝学习愉快，
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