高中数学题 高手进

Question

三角形ABC中 SINA：SINB：SINC=1：1：根号2 三角形面积是0.5 问 向量AB*向量BC+向量BC*向量CA+向量CA*向量AB的值

请各位大侠写清楚过程哦
都很好 再问一题 O点是三角形ABC内一点 满足向量OA+向量OB+向量OC=0向量 且 向量OA*向量OB=向量OB*向量OC=向量0C*向量OA 则此为 什么三角形 请各位大侠写过程哦

Answer 1

设三角形三个角A,B,C对应的边分别为a,b,c.由已知得sinA=sinB,sinC=sin(A+B)=√2sinB(注：√2为根号2)，再由正弦定理得：a=b=c√2/2∵A，B为三角形的2个内角
∴A=B
∴sin(A+B)=sin2B=2sinBcosB=√2sinB
∴cosB=√2/2
∴sinB=cosB=√2/2
∴sinA=sinB=√2/2,sinC=1
∴此三角形为等腰直角三角形,其面积=ab/2=0.5
∴a=b=1,c=√2
在三角形中，向量CA=向量AB-向量BC，代入原式中可得：（以下向量AB简写为AB，向量AB的模记为|AB|）
AB*BC+BC*(AB-BC)+(AB-BC)*AB
=AB*BC+|AB|^2-|BC|^2
=c*a*cosB+c^2-a^2(这里的*不是点乘的意思，就是乘法)
=2

Answer 2

解：由三角形ABC中 SINA：SINB：SINC=1：1：根号2，设
SINA=t，则
SINB=t
SINC=√2*t
由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
得
a=b
c=√2*a
由于a^2+b^2=c^2
得
A=B=45度，C=90度
又由三角形面积是0.5得
1/2ab=0.5
从而a=b=1，c=√2
因此
向量AB*向量BC+向量BC*向量CA+向量CA*向量AB的值=√2*1+1*1+1*√2=2√2+2。