高中数学，函数，只求第一问。请写出详细过程，谢谢！

Question

如题所述

Answer 1

Ⅰ）由f（x）=ax2+bx-lnx（a，b∈R）
知f′（x）=2ax+b- 1 x
又a≥0，
故当a=0时，f′（x）= bx-1 x
若b=0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜ 1 b ，即函数在（0， 1 b ）上是减函数，在（ 1 b ，+∞）上是增函数、
所以函数的单调递减区间是（0， 1 b ），单调递增区间是（ 1 b ，+∞），
当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax2+bx-1=0
由于△=b2+8a＞0，故有
x2= -b+
b2+8a 4a ，x1= -b-
b2+8a 4a
显然有x1＜0，x2＞0，
故在区间（0， -b+
b2+8a 4a ）上，导数小于0，函数是减函数；在在区间（ -b+
b2+8a 4a ，+∞）上，导数大于0，函数是增函数
综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0， 1 b ），单调递增区间是（ 1 b ，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0， -b+
b2+8a 4a ），单调递增区间是（ -b+
b2+8a 4a ，+∞）
（II）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，
由（1）知， -b+
b2+8a 4a 是函数的唯一极小值点故 -b+
b2+8a 4a =1
整理得2a+b=1，即b=1-2a
令g（x）=2-4x+lnx，则g′（x）= 1-4x x
令g′（x）= 1-4x x =0得x= 1 4
当0＜x＜ 1 4 时，g′（x）＞0，函数单调递增；
当 1 4 ＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减
因为g（x）≤g（ 1 4 ）=1-ln4＜0
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b

Answer 2

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Answer 3

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