求函数y=sinx/cosx+2的最大值与最小值

Question

如题所述

Answer 1

这题用几何法
y=sinx/(cosx+2)
表示的是(sinx,cosx)到(-2,0)点的斜率
而(sinx,cosx)表示的是圆x^2+y^2=1上的点
那么其实就是求圆x^2+y^2=1的点到(-2,0)的斜率的范围
画出图来
那么其实是过(-2,0)时，与圆相切时，取得斜率的最大与最小
设直线y=k(x-2)，与圆相切
那么(0.0)到直线距离是半径1
所以：|k*(0-2)-0|/√(1+k^2)=1
解得：k=√3/3或k=-√3/3
所以最大值是是√3/3，最小值是-√3/3

熟练用几何的视角看代数题目

Answer 2

可以利用几何性质：函数y=sinx/cosx+2 可以认为是单位圆上的点和（-2,0）的连线的斜率
显然当连线与圆相切时分别取得最大和最小值。
那么最大值是连线在上方相切，此时直线斜率为√3/3 ，最小值是-√3/3
注：楼上用纯代数的解法 也是可以的。但用数形结合更为简洁直观。

Answer 3

y=sinx/cosx+2=tanx+2
正切函数，没有最大值和最小值追问

求函数y=sinx/(cosx+2)的最大值与最小值

追答

设sinx/(cosx+2)=N，则
sinx=N(cosx+2)
√[1-(cosx)^2]=N(cosx+2)
上方程两边平方，并化简得
（N^2+1）*(cosx)^2+（4N^2）*cosx+4N^2-1
另cosx＝t，则有（N^2+1）*t^2+（4N^2）*t+4N^2-1
△=（4N^2）^2-4*（N^2+1）*（4N^2-1）
=-12N^2+4≥0
N^2≤1/3
-√3/3≤N≤√3/3
可知N的最大值=√3/3，最小值=-√3/3
即sinx/(cosx+2)的最大值=√3/3，最小值=-√3/3