初三数学压轴题

Question

如图,已知直线y=2x+2与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax²-2ax+c过点C且与直线y=2x+2交于点A（5，12）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）D为x轴上方抛物线一点，若△DCO与△DBO的面积相等，求D点的坐标；
（3）在线段AB上是否存在点P，过点P作x轴的垂线交抛物线与点E，使得以P、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解（1）将 A(5,12)C(-1,0)代入······中，解得a=1，c=-3

∴y=x²-2x-3（比较简单的，不详细说明了~）

（2）△DCO与△DBO的面积相等，设D为（m，m²-2m-3）

则有1/2×（m²-2m-3）×1=1/2×|m|×2【因为D在x轴上方，所以m²-2m-3>0,因此不要加绝对值~】

当m>3时解得m=2+√7或2-√7，【但是-1<2-√7<3,所以此时D在x轴下方，应舍去】∴m=2+√7

∴D为（2+√7,4+2√7）

当m<-1时，同理解有两个，舍去一个，得m=-√3

∴D为（-√3，-2√3）

（3）PE∥BO，∴∠1=∠2，∴B和P为对应点（理解吧）

所以只有两种大情况

1°∠PBE=90°=∠BOC【△BOC∽△PBE】

∴过B作AC的垂线，交抛物线于两点，则这两点即为所求的E点

由AC的解析式得EB为y=-1/2x+b【两直线相互垂直，它们的k值互为负倒数，即乘积为1】

将B代入得EB为y=-1/2x+2，

则当-1/2x+2=x²-2x-3时，解得x=（3+√89）/4或（3-√89）/4

将其代入y=2x+2中得

P1为（3+√89,8+2√89）  P2为（3-√89,8-2√89）

2°当∠PEB=90°=∠BOC时，【△BOC∽△PEB】

因为DE垂直x轴，BE垂直DE，所以BE∥x轴

于是可以过B作x轴的平行线，交抛物线于两点，这两点，即为所求的E点

当y=2时，x²-2x-3=2，解得x=1+√6或1-√6

∴将x代入y=2x+2得

点P3为（1+√6,4+2√6）P4为（1-√6,4-2√6）

证毕！O(∩_∩)O~（这是一道计算量比较大的题，我只是希望楼主能看明白我的思路，掌握那把钥匙，结果不重要，你说呢？）

如果有哪一步不明白，欢迎追问~\(≧▽≦)/~