高斯过程求期望

Question

如果X1(t)，X2(t)，X3(t)，X4(t)都是高斯随机过程
那么E[X1(t)X2(t)X3(t)X4(t)]=?
高人指点啊，不胜感激
问题原本是已知s(t)是一个高斯随机过程，求E[s(t)*s(t-m)^3],m为常数
记得好像有如题问题中所述的那么一个结论的，但搞不清楚了
高人指教 orz

Answer 1

可以通过特征函数求解：
如果设(X1,X2)为正态分布随机向量，记EX1=u1,
EX2=u2,VarX1=m1,VarX2=m2,Cov(X1,X2)=m12,则此随机向量的特征函数为
f(y1,y2)=E[exp(iX'y)]=exp(iu'y-0.5y'My)
其中，向量X=（X1,X2)',u,y的含义相同，“'”代表转秩；M是协方差矩阵,i是虚数单位。展开得到
f(y1,y2)=exp[i(u1y1+u2y2)-0.5*(m1^2*y1^2+2m12*y1*y2+m2^2*y2^2)]
再利用特征函数与数学期望间的关系
[df(y1,y2)/(dy1d^3y2)]|(y1=y2=0)=i^(1+3)*E(X1*X2^3)=E(X1*X2^3)
其中等式左边表示f(y1,y2)对y1一次、y2三次的混合偏导在y1=y2=0处的值。
因为题目中的s(t)是正态过程，即(s(t),s(t-m))是正态随机变量，所以用s(t)代换上面的X1,用
s(t-m)代换上面的X2即可。
关于[df(y1,y2)/(dy1d^3y2)]|(y1=y2=0）的具体计算是简单而基础的，相信你能自己完成。