数学里〈三线合一〉是什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

定义

　　等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。叫等腰三角形三线合一。
　　前提：在三角形中！只要有两条线重合，那这个三角形一定是等腰三角形。
编辑本段
证明

　　已知：△ABC为等腰三角形，AD为中线。求证：AD垂直平分BC，BD=DC 等腰三角形ABC(AB=AC).
　　∵△ABC为等腰三角形 (已知）
　　∴AB=AC(等腰三角形的性质)
　　∴∠B=∠C（等边对等角）
　　∵AD为中线（已知）
　　∴BD=DC（等腰三角形中线为垂直平分线）
　　∵AD为公共边
　　∴△ADB≌△ADC（S.A.S)
　　可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）
　　∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义）
　　∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
　　得证
编辑本段
应用

　　1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
　　∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
　　2.∵AB=AC,AD⊥BD
　　∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
　　3.∵AB=AC,AD平分∠BAC
　　∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
编辑本段
逆定理

　　① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
　　② 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
　　③ 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
　　总而言之：在一个三角形中，一边上的高线与此边上的中线，及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。
　　（注意：其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形，可应用正弦定理，或过此边中点作另外两边垂线。）

Answer 2

等腰三角形底边上的高线、中线和顶角的角平分线三线重合。

Answer 3

等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中线合一，即是同一条线。

Answer 4

等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合 。

Answer 5

等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合