A(-a,0) , A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。
B(0,-b) , B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。
F1(-c,0)或(0,-c) , F2(c,0)或(0,c)。F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有:a2+b2=c2 焦点在x轴:y=±(b/a)x。
焦点在y轴:y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ε/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线。其中p为焦点到准线距离,θ为弦与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角,即θ=arccos(1/e)
令θ=0,得出ρ=ε/(1-e),x=ρcosθ=ε/(1-e)
令θ=π,得出ρ=ε/(1+e),x=ρcosθ=-ε/(1+e)
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出它们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标)
x=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
(注意化简一下)
直线ρcosθ=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转π/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-[π/2-arccos(1/e)]
则θ=θ’+[π/2-arccos(1/e)]
代入上式:
ρcos{θ’+[π/2-arccos(1/e)]}=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
即:ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
然后可以用θ取代式中的θ’了
得到方程:ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
现证明双曲线x2/a2-y2/b2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y)是双曲线在第一象限的点,则
y=(b/a)√(x2-a2) (x>a)
因为x2-a2<x2,所以y=(b/a)√(x2-a2)<b/a√x2=bx/a
即 y<bx/a
所以,双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方。
根据对称性第二、三、四象限亦如此。 第一定义:e=c/a 且e∈(1,+∞).
第二定义:双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e。
d点│PF│/d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e (圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离)
左焦半径:r=│ex+a│
右焦半径:r=│ex-a│ 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即:2a=2b 且 e=√2
这时渐近线方程为:y=±x(无论焦点在x轴还是y轴) 双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达:S:(x2/a2)-(y2/b2)=1 S':(y2/b2)-(x2/a2)=1
特点:(1)共渐近线;与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点
(2)焦距相等
(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 焦点在x轴上:x=±a2/c
焦点在y轴上:y=±a2/c
弦长公式
d = √(1+k2)|x1-x2|
= √[(1+k2)(x1-x2)2]
= √(1+1/k2)|y1-y2|
= √[(1+1/k2)(y1-y2)2 ]
推导如下:
由 直线的斜率公式:k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分别代入两点间的距离公式:|AB| = √[(x1 - x2)2; + (y1 - y2)2; ]
稍加整理即得:
|AB| = |x1 - x2|√(1 + k2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k2;)
·双曲线的标准公式与反比例函数
X2/a2 - Y2/b2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
因为 xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X2/a2 - Y2/b2 = 1的对称轴是x轴,y轴
所以应该旋转45°
设旋转的角度为 a(a≠0,顺时针)
(a为双曲线渐进线的倾斜角)
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X2 - Y2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))2
= (√2/2 x + √2/2 y)2 -(√2/2 x - √2/2 y)2
= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X2/(2c) - Y2/(2c) = 1 (c>0)
Y2/(-2c) - X2/(-2c) = 1 (c<0)
由此证得,反比例函数其实就是双曲线的一种形式,.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
双曲线内、上、外
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内,则有x2/a2-y2/b2>1;
在双曲线的线上称为双曲线上,则有x2/a2-y2/b2=1;在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有x2/a2- y2/b2<1。