A(-a,0) ， A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。
B(0,-b） ， B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。
F1（-c,0)或（0，-c） , F2（c,0）或（0，c）。F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c2 焦点在x轴：y=±（b/a)x。
焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ε/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角，即θ=arccos（1/e)
令θ=0，得出ρ=ε/（1-e）,x=ρcosθ=ε/（1-e）
令θ=π，得出ρ=ε/（1+e）,x=ρcosθ=-ε/（1+e）
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转π/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-[π/2-arccos（1/e)]
则θ=θ’+[π/2-arccos（1/e)]
代入上式：
ρcos{θ’+[π/2-arccos（1/e)]}=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
然后可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
现证明双曲线x2/a2-y2/b2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则
y=(b/a）√（x2-a2） (x>a)
因为x2-a2<x2，所以y=(b/a）√（x2-a2）<b/a√x2=bx/a
即 y<bx/a
所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方。
根据对称性第二、三、四象限亦如此。 第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞）.
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e。
d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e （圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）
左焦半径：r=│ex+a│
右焦半径：r=│ex-a│ 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴） 双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：（x2/a2）-(y2/b2）=1 S'：（y2/b2）-(x2/a2）=1
特点：（1）共渐近线；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 焦点在x轴上：x=±a2/c
焦点在y轴上：y=±a2/c
弦长公式
d = √（1+k2）|x1-x2|
= √[（1+k2）(x1-x2）2]
= √（1+1/k2）|y1-y2|
= √[（1+1/k2）(y1-y2）2 ]
推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2） / (x1 - x2）
得 y1 - y2 = k(x1 - x2） 或 x1 - x2 = (y1 - y2）/k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[（x1 - x2）2; + （y1 - y2）2; ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√（1 + k2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√（1 + 1/k2;)
·双曲线的标准公式与反比例函数
X2/a2 - Y2/b2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
因为 xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X2/a2 - Y2/b2 = 1的对称轴是x轴，y轴
所以应该旋转45°
设旋转的角度为 a（a≠0，顺时针）
（a为双曲线渐进线的倾斜角）
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X2 - Y2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)2 -(xsin（π/4） - ycos（π/4）)2
= （√2/2 x + √2/2 y)2 -（√2/2 x - √2/2 y)2
= 4 （√2/2 x) （√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X2/（2c) - Y2/（2c) = 1 (c>0)
Y2/(-2c) - X2/(-2c) = 1 (c<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
双曲线内、上、外
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x2/a2-y2/b2>1；
在双曲线的线上称为双曲线上，则有x2/a2-y2/b2=1；在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x2/a2- y2/b2<1。
