大一数学微分方程

Question

二阶线性非齐次微分方程：y``+4y`+3y=e^x
求它的特解，最好有详细解答，谢谢。

Answer 1

解：下面是二阶常系数线性非齐次微分方程的基本解答步骤：
【1】先求对应齐次方程的通解：
第一步，写出齐次微分方程的特征方程：r^2+4r+3=0
第二步，求出特征方程的两个根：r1=-1，r2=-3
第三步，确定齐次微分方程的通解：由于特征方程有两个不相等的实根，所以通解为：y=C1*e^(-x)+C2*e^(-3x)
【2】求非齐次方程的一个特解：
由于非齐次项f(x)=e^x属于f(x)=Pm(x)*e^(λx)型，且m=0，λ=1（非特征根）
因此，可设非齐次方程的特解为：y0=x^0*A*e^x=A*e^x
代入非线性方程，得：(1+4+3)*A*e^x=e^x，解之得：A=1/8
所以特解为：y0=1/8*e^x
综上所述，该二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为：
y=C1*e^(-x)+C2*e^(-3x)+1/8*e^x（其中，C1和C2为任意常数）

Answer 2

特征方程为t^2+4t+3=0,t=-1,-3
所以通解为y1=C1e^(-x)+C2e^(-3x)
设特解为y2=Ae^x
则y2'=y2''=Ae^x
所以Ae^x+4Ae^x+3Ae^x=e^x
A=1/8
所以y2=(e^x)/8