高等数学 泰勒公式

Question

高等数学 泰勒公式为什么要分成两种情况来讨论
而且方法还不一样
为什么x大于1，要用这种方法
为什么x在0到1之间，要用拉格朗日中值定理

Answer 1

因为首先你看条件是给出了f(x)、f(x)的三次导数的信息，而问题问的是f(x)的二次导数的信息。能把这些东西连在一起的肯定是泰勒公式，所以你的想法是用泰勒公式把他们联结起来。然后他这里1是随便取的，其实取任何一个大于0的数a都可以，比如0.5（但是0.5不好看），只要把那些个1全换成a都还是一样的都能做。但是为了获得这两条泰勒展开式用到了f（x-a）与f(x+a)，f(x-a)那条式子最后的那个f（3）（η）里x-a＜η＜x，而f(x)只在（0，正无穷）上有三阶导，所以必须保证x-a＞0，这样就要分为x＞a和0＜x<a两种情况讨论了。
x＞a的情况用泰勒展开式可以做。0<x<a的情况另外想办法，然后就想到后面那个用拉格朗日中值定理的办法。
大概思路就是这样。