初二数学竞赛题（希望杯）

Question

有一个矩形！矩形4条边长能构成一个四位数，这个四位数的千分位与百分位相同，且这个四位数是一个完全平方数！问，这个矩形的面积是多少？

（1. 四位数的千分位与百分位相同，则十分位与个位相同！2.若设矩形的的两边长 x 和 y，则只要证明1000x+100x+10y+y是完全平方数，并求出来就行了！）
（注：各位数学高手们，有能力的你就按照我的思路去做（也许我是错的），不行来，说的越清楚者越高分！）还有，小弟初出茅庐，积分不多，悬赏不多，请各位大哥们别见怪！

Answer 1

设长宽一个是x一个是y
则1000x+100x+10y+y=11(100x+y)是完全平方数
所以100x+y能被11整除而100x+y=99x+x+y所以x+y能被11整除
设而x+y<=18,所以x+y=11
100x+y=99x+11
所以1000x+100x+10y+y=11(99x+11)=11*11(9x+1)
9x+1要是完全平方数,而x只能在1到9中选,所以x=7
由x+y=11得y=4
所以:面积是:x*y=7*4=28

Answer 2

7744,
1000x+100x+10y+y=11(100x+y)则该数开方后一定能被11整除,
因为要平方后为4位数,则为33,44,55,66,77,88,99
所得数为88.即四位数为7744,面积为28

Answer 3

思路正确继续算下去这个数为11(100x+y),那么这个数为11的倍数，由同余定理，x+y为的11倍数由于它们都小于10，它们的和为11，原数变为121(9x+1)，那么9x+1为平方数，x=7