如图，已知三角形ABC是等腰直角三角形，角A=90度，BD平分角ABC交AC于点D，

Question

如图，已知三角形ABC是等腰直角三角形，角A=90度，BD平分角ABC交AC于点D，CE垂直BD，求证BD=2CE

Answer 1

证明：延长CE、 BA交于点F

在RT△BEC和RT△BEF中

因为∠EBF=∠EBC （角平分线）

BE=BE

∠BEF=∠BEC=90°

所以RT△BEC≌RT△BEF（ASA）

所以CE=EF

所以CF=CE+EF=2CE

因为∠CFA+∠ABD=90°

∠CFA+∠FCA=90°

所以∠ABD=∠FCA

在RT△CAF和RT△BAD中

因为∠ABD=∠FCA(已证)

AC=AB (已知)

∠CAF=∠BAD=90°

所以RT△CAF≌RT△BAD（ASA）

所以BD=CF

又因为CF=2CE

所以BD=2CE

Answer 2

证明：延长CE与BA的延长线交于点F
因为CE垂直BD
所以角BEC=角BEF=90度
因为BD平分角ABC
所以角ABD=角CBD
因为BE=BE
所以三角形BEC全等三角形BEF (ASA)
所以CE=FE=1/2CF
因为角BEF+角F+角ABD=180度
所以角F+角ABD=90度
因为角BAC+角CAF=180度
角BAC=角A=90度
所以角BAC=角CAF=90度
因为角BAC+角ABD+角ADB=180度
所以角ABD+角ADB=90度
所以角F=角ADB
因为AB=AC
所以三角形ABD全等三角形ACF (AAS)
所以BD=CF
所以CE=1/2BD
所以BD=2CE