关于曲线曲面积分的学习方法

Question

感觉这块难度不小，哪位高人推荐一下学习方法
我学数一，考研快到了
谢谢大家的建议，多多益善！

Answer 1

　　首先仔仔细细的看一下那四类积分，把那些积分公式写下来，然后尽量直观的理解一下，比如对坐标的曲线积分以及对弧长的曲线积分，前者可以理解为力的做功，后者理解为已知曲线密度，求曲线质量，这样有了理解之后对公式的记忆会有帮助的，要不然会很乱。
　　理解了公式之后，就可以运用一些对称性了，那些对称性的公式也要理解，并不是硬背的，什么关于x是偶函数，关于y是奇函数，积分是两倍还是为0这点也很重要，陈文登的书上面好像都总结了。然后理解公式以后就到教科书上找相应的例子巩固一下，同济第五版的高等数学，上面的例题很简单，并且也把知识点包含进去，所以是个很不错的教材。
第一是要理解公式，不要看到公式不知道什么含义，或者记不起公式，这就是前面说的按其物理含义直观去理解记牢。找一些相关题目做一做，同时在坐标的曲线积分和坐标的曲面积分中，特别要注意你所考虑的曲线或曲面的方向。曲面一般是朝Z轴方向为正，即与Z轴的正方向夹角小于90度时为正，反之为负。找一些典型题目做一做，自己也总结一下，如果积分区域是对称的话，尽量考虑应用对称性。
　　设Σ为光滑曲面，函数f(x,y,z)在Σ上有定义，把Σ任意地分成n个小曲面Si,其面积设为ΔSi，在每个小曲面Si上任取一点(Xi,Yi,Zi) 作乘积f(Xi,Yi,Zi)ΔSi，并求和Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi，记λ=max(ΔSi的直径) ， 若Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi当λ→0时的极限存在，且极限值与Σ的分法及取点（Xi,Yi,Zi）无关，则称极限值为f（x,y,z）在Σ上对面积的曲面积分，也叫做第一类曲面积分。即为∫∫f(x,y,z)dS；其中f(x,y,z)叫做被积函数，Σ叫做积分曲面，dS叫做面积微元。

Answer 2

我也从考研路上过来，也深有体会，不过大概的方法还是知道一些，希望我说的对你有所帮助。
首先仔仔细细的看一下那四类积分，把那些积分公式写下来，然后尽量直观的理解一下，比如对坐标的曲线积分以及对弧长的曲线积分，你要明白什么意思，前者可以理解为力的做功，后者理解为已知曲线密度，求曲线质量，这样有了理解之后对公式的记忆会有帮助的，要不然会很乱。理解了公式之后，就可以运用一些对称性了，那些对称性的公式也要理解，并不是硬背的，什么关于x是偶函数，关于y是奇函数，积分是两倍还是为0这点也很重要，我用的是陈文登的书，上面好像都总结了，别的书我不知道。然后理解公式以后就到教科书上找相应的例子巩固一下，我用的是同济第五版的高等数学，上面的例题很简单，并且也把知识点包含进去，所以是个很不错的教材。
我觉得第一是你要理解公式，不要看到公式不知道什么含义，或者问你了你却记不起公式，这就是前面说的按其物理含义直观去理解记牢。找一些相关题目做一做，同时在坐标的曲线积分和坐标的曲面积分中，特别要注意你所考虑的曲线或曲面的方向。曲面一般是朝Z轴方向为正，即与Z轴的正方向夹角小于90度时为正，反之为负。找一些典型题目做一做，自己也总结一下，如果积分区域是对称的话，尽量考虑应用对称性。
说了那么多，希望我说的对你有所帮助，祝你考研成功！！！还有什么问题，你也可以单独问我，也许我还能给你一些帮助……本回答被提问者采纳

Answer 3

我也从考研路上过来，也深有体会，不过大概的方法还是知道一些，希望我说的对你有所帮助。
首先仔仔细细的看一下那四类积分，把那些积分公式写下来，然后尽量直观的理解一下，比如对坐标的曲线积分以及对弧长的曲线积分，你要明白什么意思，前者可以理解为力的做功，后者理解为已知曲线密度，求曲线质量，这样有了理解之后对公式的记忆会有帮助的，要不然会很乱。理解了公式之后，就可以运用一些对称性了，那些对称性的公式也要理解，并不是硬背的，什么关于x是偶函数，关于y是奇函数，积分是两倍还是为0这点也很重要，我用的是陈文登的书，上面好像都总结了，别的书我不知道。然后理解公式以后就到教科书上找相应的例子巩固一下，我用的是同济第五版的高等数学，上面的例题很简单，并且也把知识点包含进去，所以是个很不错的教材。
我觉得第一是你要理解公式，不要看到公式不知道什么含义，或者问你了你却记不起公式，这就是前面说的按其物理含义直观去理解记牢。找一些相关题目做一做，同时在坐标的曲线积分和坐标的曲面积分中，特别要注意你所考虑的曲线或曲面的方向。曲面一般是朝Z轴方向为正，即与Z轴的正方向夹角小于90度时为正，反之为负。找一些典型题目做一做，自己也总结一下，如果积分区域是对称的话，尽量考虑应用对称性。
说了那么多，希望我说的对你有所帮助，祝你考研成功！！！还有什么问题，你也可以单独问我，也许我还能给你一些帮助……最近我也复习到曲线积分和曲面积分，这部分是年年都要考得，所以务必要弄明白

曲线还比较好理解，内容不多，第一类积分，第二类积分（重点），还有一个格林公式（解决闭合曲线的积分问题，将闭合曲线的积分问题转换成二重积分来解决，也是重点）。

至于曲面积分，个人感觉比较难于将一个曲面在xoy平面的投影找出来，这是我现在比较头痛的问题。

Answer 4

从概念上讲，第一类的，都是和方向无关的，对标量的积分。第二类的，都是和方向有关的，对某种意义上的矢量的积分。具体地说：第一类曲线积分是对长度的积分，第二类曲线积分是对坐标的积分，讲究曲线上演某方向的变化了。第一类区面积分，是对面积的积分，第二类区面积分是对二维坐标的积分，强调面积朝向某侧的情况。 从计算上讲，第一类的计算要求出长度或者面积微元的表示式，因此计算公式似乎复杂，但是记住公式之后，因为不用考虑方向，因此实际上简单。第二类的，不用考虑微元的表示式，直接就是对坐标积分，形式上简单，不过，在具体到某个线或者面的时候，要考虑是否要根据方向的变化分成不同的小段，在每个方向一致的小段上，还要考虑正负号，是否为零等等，实际上相对麻烦许多。 关于这两类积分（实际上是四类，不过我的称呼是分别针对面，线来说）实际上都有统一的公式。两类曲线积分可以通过方向余弦实现统一。两类区面积分可以通过切面的法向量方向余弦实现统一。 此处的学习重点除了上述内容之外，要特别注意 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，拉普拉斯算子，拉普拉斯反算子。这些在某些专业中应用更广泛。

Answer 5

曲面曲线积分主要是要有空间的概念（就是想象力），从数学知识上讲我觉得一定要把向量的及向量函数的基本运算（特别是内积）掌握好了，这样在分析的时候就可以得心应手。在计算时要注意积分元的换算，其实第一类第二类曲线、曲面积分的转换关键就是积分元的转换，而积分元的转换过程就是就是运用向量运算得到的。如楼上说的，投影很难，其实考虑投影时根本就不需要去考虑空间结构如何，只需要做相应内积就可以了。

我是学理学的，对于你们工科考研不是很清楚，但是从我自己的学习经验来讲，最好还是要把基本概念掌握清楚。很多人学习高数觉得多元微积分难，其实恰恰相反，最难的是一元微积分，多元所谓的难就是大家在学习中不太注重概念，只记住书本或者老师讲的什么类型怎么运算，没用用心去掌握概念，没用向量运算自己去推导一边公式的来笼去脉。如果物理基础好结合场论中的物理概念，那么就会很形象理解得很深刻。

最后建议，静下心来做几道题目，各种类型间转换的题目典型的也不会超过10道。在做题目时一定要把没步算式的变化根据搞清楚。如果基础不好，不会做，那么可以看完整的答案，但一定要知道为什么，然后自己多默写几遍，这对于应付考试是很有用的。等到以后如果真正用到了这方面的知识，那么建议好好从基础学起。