平面向量的数量积公式反映出什么道理?为什么公式是那样写?这个公式的逻辑是什么?

Question

如题所述

Answer 1

两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。 　　

两向量α与β的数量积：α·β=|α|*|β|cosθ；其中|α|、|β|是两向量的模，θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)。  

若有坐标α(x1,y1,z1) ；β(x2,y2,z2)，那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2；　|α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)；|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)。 　　

因此，用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|。 　　

已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积) 　　

即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b（"·“不可省略，若用“×”则成了向量积）

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/274785272.html?an=0&si=1

Answer 2

面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（0≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“• ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc a = c
如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|
 ab = bc 但a  c
(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

Answer 3

在数学上反应了两个向量为边形成的四边形的面积，它的引进大大简化了某些原理的数学表达。比如物理学中力的做功问题等.....