自古以来，人类对於蜜蜂的勤劳以及蜂巢的巧妙精准，无不赞扬有加。从生物学的祖师爷亚里斯多德 (Aristotle)，到数学家 Pappus，以及近代的博物学家达尔文 (Darwin) 都曾留下赞美的语句。
工蜂分泌蜂蜡筑成蜂巢，做为后蜂产卵、育幼，以及存放蜂蜜、花粉的储藏室。从正面看起来，蜂巢是由许多正六边形的中空柱状储藏室连结而成，参见图八，读者若具有实地见过蜂巢的经验当然是最好。
图八
从整个立体的蜂巢来看，它具有左右（或前後）两侧的储藏室．其截面如图九；而图十是一个柱状的储藏室，其底部是由三个全等的菱形面 ASBR、ASCQ与 PBSC 所组成。
图九
图十
人类对於蜂巢的结构，由观察产生惊奇，进而提出两个数学问题：
(i)
为何是正六边形？
(ii)
底边为何是三个全等的菱形面组成？
下面我们就来探索这两个问题。
第一个问题涉及古老的等周问题 (isoperimetric problem)：即在平面上，要用固定长的线段围成一块封闭的领域，使其面积为最大，问应如何围法？
这个问题又叫做 Dido 问题。在古希腊传说中，Dido 公主（建立迦太基的女王）凭她的直觉提出正确的答案：圆。不过，要等到两千多年後的十九世纪，透过变分学 (calculus of variation) 的研究，才有真正严格的证明。
对於等周问题，古希腊数学家 Zenodorus（约180 B.C.）已经证得下列的结果：
(i) 在所有 n 边形中，以正 n 边形的面积为最大，并且边数越多，面积也越大；
(ii) 圆的面积比任何正多边形的还要大。
另外一方面，古埃及人已经知道，用同一种形状与大小的正多边形铺地，恰好只有三种样式，参见图十一。
图十一
即只能用正三角形，正方形与正六边形三种情形，再没有其他的了。这是三角形三内角和为 180°的简单推论。
蜜蜂分泌蜂蜡筑巢，从横截面来看，这相当於是用固定量的蜡，要围成最大的面积，这是等周问题。由 Zenodorus 的结果，再配合上述铺地板只有三种样式，所以蜜蜂只有正三角形、正方形与正六边形三种选择，而蜜蜂凭本能选择了最佳的正六边形。换言之．蜜蜂采用「最经济原理」来行事。
亚历山卓 (Alexandria) 的几何学家 Pappus，约在西元300年出版一套八册的《数学文集》(Mathematical Collection)，其中第五册讨论等周问题及蜂巢结构问题。他特别称赞蜜蜂「依本能智慧作论证」(reason by instinctive wisdom) 的本领，天生俱有的「某种几何的洞悟力」(a certain geometrical foresight)。
其次，我们探讨蜂巢的第二个问题，即每个储藏室 (cell) 底部的几何结构。这个问题比较困难。
我们观察蜂巢的一个储藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三个菱形面组成，交会於底部中心顶点 S（见图十二）。让我们先回顾一段历史。
图十二
在1712年，巴黎天文观测所的天文学家 G.F. Maraldi，他实际度量菱形的角度，得到的结果是 70°32' 与 109°28'，见图十二。Maraldi 实地叩问自然，并且相信蜜蜂是根据单纯 (simplicity) 与数学美 (mathematical beauty) 两个原理来筑巢。
Maraldi 的结果引起法国著名的博物学家 Reaumur 的兴趣，他猜测蜜蜂选择这两个角度一定是有原因的，可能就是要在固定容积下，使得表面积为最小，即以最少的蜂蜡作出最大容积的储藏室。因此，Reaumur 就去请教瑞士年轻的数学家 Samuel König 如下的问题：
给定正六角形柱，底部由三个全等的菱形作成，问应如何做会最节省材料？
Reaumur 并没有告诉 König 这个问题是由蜂巢引起的。
一直等到 König 把算得的结果 70°34" 与 109°26" 送到 Reaumur 的手里，Reaumur 才告诉 König 关於蜂巢与 Maraldi 的实测结果。他们对於理论与实测的结果仅相差 2"，同感震惊。König 的结果支持了 Reaumur 的猜测：蜜蜂是按「最经济原理」来行事。König 利用微分法解决上述的极值问题，他说：「蜜蜂所解决的问题，超越古典几何的能力范围，而必须用到 Newton 与 Leibniz 的微积分。」然而，一代博学者 Fontenelle（法国科学院永久秘书）在1739年却作出著名的判断，他否认蜜蜂具有智慧，认为蜜蜂只是按照天生自然与造物者的指示，「不知亦能行」地（盲目地）使用高等数学而已。
关於 König 的相差2分问题，後来经过 Cramer、Boscovich、Maclaurin 等人的重算，发现蜜蜂是对的，错在 König，而 König 所犯的小错又出在计算 $\sqrt{2}$ 时，所使用的数值表印错了一个数字。
下面我们就来求解 Reaumur 对 König 所提出的极值问题。
考虑图十三的正六角形柱，在 A、C、E 处分别用平面 BFM、BDO、DFN 截掉三个相等的四面体 ABFM、CDBO、EDFN，见图十四，使得变成图十五。三个平面 BFM、BDO、DFN 延伸交於顶点 P，见图十六。从图十三变成图十六，所截掉的体积恰好等於所补足的体积。因此，图十三与图十六的体积相等，但是，两者的表面积却不相等。
图十三
因此，原极值问题等价於，在容积固定下，求最小表面积。蜂巢一个储藏室的表面（图十六）是由六个梯形（BMGH 等等）与三个菱形组成的。在图十四中，设AB=a，BH=h，AM=x（x 是变数），则由馀弦定律与毕氏定理可求得菱形PBMF 的对角线
\begin{displaymath} BF=\sqrt{3}a \quad, \quad MP=2\sqrt{x^2+\frac{a^2}{4}} \end{displaymath}
今每个菱形的面积为 $\sqrt{3}a\cdot 2\sqrt{x^2+\frac{a^2}{4}}$ 每个梯形的面积为 $ah-\frac{1}{2}ax$，所以一个储藏室的总表面积为
\begin{displaymath} A(x) = 3\sqrt{3}a\sqrt{x^2+\frac{a^2}{4}}+3a(2h-x) \end{displaymath} (5)
由微分法，令 A'(x)=0 得
\begin{displaymath}3\sqrt{3}ax\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+\frac{a^2}{4}}}-3a=0\end{displaymath}
解得
\begin{displaymath} x=\frac{\sqrt{2}}{4}a \end{displaymath} (6)
利用二阶微分，容易验知 $x=\frac{\sqrt{2}a}{4}$ 确是极小点。在 $x=\frac{\sqrt{2}a}{4}$ 之下，进一步令菱形的锐角 $\angle PBM=\theta$，则
\begin{displaymath}\tan(\frac{1}{2}\theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{displaymath}
从而
\begin{displaymath} \tan\theta &=& 2\sqrt{2} \end{displaymath} (7)
\begin{displaymath} && \theta \quad \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selec... ...{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 107}} \quad 70^\circ 32' \end{displaymath}
习题：在图十六中，令 α 表示对角线 PO 与中心轴 PQ 之交角，试证一个储藏室的总表面积为
\begin{displaymath} A(\alpha)=6ha+\frac{3}{2}a^2(\frac{\sqrt{3}}{\sin\alpha}-\cot\alpha) \end{displaymath} (8)
再解 $A'(\alpha)=0$，得
\begin{displaymath} \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \mbox{{\fontfamily{cwM2}... ...family{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 107}}\quad 0.57735 \end{displaymath} (9)
所以 $\alpha=54^\circ 44'$
注：我们也可以利用(6)式，再配合图十六，推得(9)式。
对於一个初等的极值问题，要用到微分法来处理（杀鸡用牛刀），令人不满意。於是有人，例如 Maclaurin（1743）、L'Huillier（1781），开始寻求初等的、简单的代数与几何解法。
(i)代数的配方法
我们注意到，在上述的解法中，其实都跟 a 与 h 无关，所以我们不妨从头就假设 a=1。於是(5)式变成
\begin{displaymath}A(x)=3\sqrt{3}\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}+6h-3x\end{displaymath}
由於 6h 是常数，故只需求
\begin{displaymath}f(x)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{1+4x^2}-3x\end{displaymath}
之最小值。令
\begin{eqnarray*} y &=& \frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{1+4x^2}-3x \\ y+3x &=& \frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{1+4x^2} \end{eqnarray*}
两边平方，再化简得
\begin{displaymath} y^2-\frac{27}{4} &=& 18x^2-6xy \end{displaymath} (10)
对右项配方，再化简得
\begin{displaymath}3y^2-\frac{27}{2}=(6x-y)^2\geq0\end{displaymath}
因此，当 y=6x 时，y 有最小值 $y=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，从而
\begin{displaymath}x=\frac{y}{6}=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{displaymath}
得到跟 (6)式相同的答案（a=1）。
(ii)二次方程的判别式法
由(10)式得
\begin{displaymath} 18x^2-6xy-(y^2-\frac{27}{4})=0 \end{displaymath} (11)
看作是 x 的二次方程式。因为 x 恒为实数，故(11)式的判别式
\begin{displaymath}\Delta=36y^2+4\times 18 \times(y^2-\frac{27}{4})\geq0\end{displaymath}
整理化简得
\begin{displaymath}y^2\geq\frac{9}{2}\end{displaymath}
於是 y 的最小值为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，以 $y=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 代入(11)式得
\begin{displaymath}x=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{displaymath}
达尔文称赞蜂巢为「在已知的仅凭本能的建构中是最令人惊奇的成就」。他又说：「欲超越这样完美的建构，自然选择 (natural selection) 是不能达成的，因为就我们所见，蜂巢不论是在劳动力上或蜂蜡的使用上，都符合最经济的原则，是绝对地完美。」
在大自然中，除了蜜蜂遵行「最小原理」之外，还有荷叶上的水珠，校园草地出现的人行道，光的 Heron 最短路径原理与 Fermat 的最短时间原理等等，这不禁使我们要猜测，大自然是按著某种「最小原理」来运行的。
在十七世纪，Leibniz 从哲学上论证「这是所有可能世界中最好的一个世界」(the best of all possible worlds)。物理学家终於在十八、十九世纪找到了动力学的「最小作用量原理」(the principle of least action)，成为数理科学中最美丽的成就。
参考资料：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_07_2/page4.html