八年级（下）的三道几何题，求解，要完整步骤

Question

如图所示，若E，F两点在平行四边形ABCD外部，且在直线AC上，其他条件不变，试说明四边形DEBF还是平行四边形吗？

如图所示，四边形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，CD的中点。求证：EF//AD//BC，且EF=二分之一（AD+BC）。

如图所示，四边形ABCD是平行四边形。
（1）当E，F分别是BC，DC中点时，求证：①EF//DB；②S△ADF=S△ABE。
（2）当EF//BD，但E，F不是中点时△ADF和△ABE的面积还相等吗？若相等给出证明，若不等说明理由。

Answer 1

1.如果AE=CF，则四边形DEBF时平行四边形
如果AE≠CF，则DEBF不是平行四边形
因为平行四边形的对角线互相平分
2.连BD，取BD中点G，连EG、FG
∵E是AB中点
∴EG是△ABD中位线
∴EG∥AD，EG=AD/2
同理GF∥BC，GF=BC/2
又AD∥BC
∴E、G、F三点共线
∴EF∥AD∥BC
且EF=EG+GF=(AD+BC)/2
3.⑴①∵E是BC中点，F是DC中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF∥BD
②∵E是BC中点
∴S△ABE=S△ABC/2
同理S△ADF=S△ADC/2
又对角线分平行四边形为全等的两部分，即S△ABC=S△ADC
∴S△ADF=S△ABE
⑵只要EF∥BD，就有S△ADF=S△ABC
∵EF∥BD
∴△ECF∽△BCD
∴EC:BC=FC:DC
∴BE:BC=DF:DC
∴S△ABE:S△ABC=S△ADF:S△ADC
∴S△ABE=S△ADF

Answer 2

当且仅当AE=CF时，四边形DEBF是平行四边形，其他情况下都不是。

过点D做一条平行于AB的直线交BC于点M，取DM中点N，连接EN,DN，因为AD//BM,AB//DM,所以四边形ABMD为平行四边形，所以AB=MD，因为E,N分别是AB,MD的中点，所以AE=DN，又因为AE//DN，所以四边形AEND是平行四边形，所以AD//且=EN。因为N,F分别是MD,CD的中点，所以NF//且=(1/2)CM，因为CM//AD,EN与FN均过点N，所以点E,F,N三点共线，所以EF//AD//BC。且EF=EN+FN=(1/2)(AD+BM)+(1/2)CM=(1/2)(AD+BC)。