求极限的等价方法？

Question

如题所述

Answer 1

lim sinx/x=1;(x->0)

1-cosx=2*(sin(x/2))^2

以下极限都趋于零

lim (1-cosx)/(1/2*x^2)= 4* lim (sin(x/2))^2/x^2

=lim (sin (x/2)/(x/2))^2=1

等价无穷小替换

是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

Answer 2

在高等数学中，求解极限有很多方法，其中一些等价的方法如下：

1. 夹逼准则：如果存在两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)且lim(x→c) g(x) = lim(x→c) h(x) = L，则有lim(x→c) f(x) = L。

2. 极限的四则运算法则：如果lim(x→c) f(x) = L1且lim(x→c) g(x) = L2，则有：

（1）lim(x→c) [f(x) + g(x)] = L1 + L2

（2）lim(x→c) [f(x) - g(x)] = L1 - L2

（3）lim(x→c) [f(x)·g(x)] = L1·L2

（4）lim(x→c) [f(x) / g(x)] = L1/L2 (其中L2≠0)

3. 极限的替换法则：如果lim(x→c) f(x) = L，则在f(x)的表达式中，可以用L代替f(x)中的所有x，包括分式的分母和指数中的x，即：

（1）当f(x)中包含sinx、cosx、tanx等函数时，可以用对应的极限值代替其中的x。

（2）当f(x)中包含logx、ex等函数时，可以用对应的极限值代替其中的x。

4. 极限的换元法：当求解lim(x→c) f(x)时，可以将f(x)中的x用一个新的变量y表示，然后将y趋近于某个值（通常是0或∞）来求解。

5. 极限的级数展开法：当求解某些特殊的极限时，可以将极限转化为某个级数的和来求解。

这些方法在实际的计算中经常使用，但是需要具体问题具体分析，选择合适的方法来求解。