设随机变量(X,Y)在平面区域D上服从均匀分布,其中D是由直线y=x和曲线y=x^2所围成的区域，求（X,Y）的边缘概

Question

边缘概率密度函数

Answer 1

设(X,Y)的联合密度函数f(x,y)=a (x,y)∈D
首先有概率完备性知
1=∫∫f(x,y)dxdy=∫∫adxdy=a∫(0,1)dx∫(x^2,x)dy=a/6
所以a=6.
(X,Y)的联合密度函数f(x,y)=6 (x,y)∈D
(X,Y)边缘概率密度函数
fx(x)=∫6(x^2,x)dy=6(x-x^2)
fy(y)=∫6(y,√y)dy=6(y-√y)