南雅中学2012年下学期高一期终考试数学答案
本试题卷包括选择题、填空题、和解答题三部分,共4页,时量120分钟,满分150分.
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,
1.已知 , ,则集合 为 ( A )
A. B. C. D.
2.根据表格中的数据,可以判定方程 的一个根所在的区间为 ( C )
A. B. C. D.
3.三个数 , , 的大小顺序为 ( B )
A. B.
C. D.
4.已知直线 , 及平面 ,下列命题中不正确的是 ( D )
A.若 , ,则 . B.若 ,则 .
C.若 , ,则 . D.若 , ,则 .
5. 一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的不可能图形为 ( D )
6.圆 中过点Q(1,2),且与圆相交截得的弦长最短时的直线方程是( B )
A.x+y+1=0 B.x+y−3=0
C.x−y−1=0 D.x−y−3=0
7.设集合 , ,若
,则 的值为 ( C )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知定义在R上的偶函数 满足 ,且在区间 上 .若关于 的方程 有三个不同的根,则 的取值范围为 ( D )
A. B. C. D.
【解析】由 得 的图象(图略).易得
故满足: ,故选D.
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在对应题号后的横线上.
9. 的值为______ _______.
10.过点 且与直线 平行的直线方程________ _________.
11.幂函数 的图象过点 ,则 的解析式是___ ____.
12.已知函数 , ,则 与 的图象有_____ _______个交点.
13.若圆锥的侧面展开图形是圆心角为 、半径为 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比为___ ____.
14、已知函数 为定义在 上的奇函数,且 时,函数 单调递增,则满足 的实数 的取值范围为 .
15.已知立方体ABCD−A1B1C1D1的所有棱的中点及顶点的集合为M, M中任取三点形成的平面的集合为P,M中任取两点形成的的直线的集合为Q.
则:(1) P中与体对角线BD1垂直的平面有 5 个;
(2)Q中与体对角线BD1垂直的直线有 21 条.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知直线 经过直线l ¢: 与直线 的交点 ,且垂直于直线 .
(1)求直线 的方程;
(2)求直线 ,l¢与x轴围成的三角形的面积 .
解:(1)求得两直线的交点为 , …………2分
l垂直于直线 ,故直线 的斜率为−2,…………4分
直线 的方程为y−2=−2(x+2),即为 ;…………6分
(2)直线 ,l ¢ 在x轴的截距分别为−1, , …………9分
故 …………12分
17.(本小题满分12分)
已知函数 的定义域为 .
(1)判定函数f ( x )在 上的单调性;
(2)当 时,求函数 的值域.
解:(1)求得 …………2分
任取−2<x1<x2≤1,则
f ( x1 )− f ( x2 )=
因此f ( x1 )>f ( x2 ),故函数f ( x )在 上为减函数. …………6分
注:没有用定义,而是用性质“减函数—增函数为减函数”可只扣1分.
(2)令 ,∵ ∴ …………8分
则
∴当 即 时,g(x)有最小值 , …………10分
当 即 时,g(x)有最大值0.
函数 的值域为[−1,0] . …………12分
18.(本小题满分12分)
如图,多面体 的直观图及三视图如图所示, 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求多面体 的体积.
证明:由多面体 的三视图知,三棱柱 中,
底面 是等腰直角三角形, ,
平面 ,侧面 都是边长为 的正方形.…2分
(1)连结 ,则 是 的中点,在△ 中, , ………3分
且 平面 , 平面 , ∴ ∥平面 ………5分
(2) 因为 平面 , 平面 ,
, 又 ⊥ ,所以, ⊥平面 ,∴四边形 是矩形,
且侧面 ⊥平面 …………8分
取 的中点 , ,
且 平面 .…………10分
所以,多面体 的体积 .……12分
19.(本小题满分13分)
某地政府招商引资,为吸引外商,决定第一年产品免税,某外资厂该年 型产品出厂价为每件60元,年销售量为11.8万件.第二年,当地政府开始对该商品征收税率为p%(0<p<100,即销售 元要征收p元)的税收,于是该产品的出厂价上升为每件 元,预计年销售量将减少p万件.
(1)将第二年政府对该商品征收的税收y(万元)表示成p的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)在第二年该厂上交的税收不少于16万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则p应为多少?
解:(1)依题意,第二年该商品年销售量为11.8−p万件,
年销售收入为 万件,
政府对该商品征收的税收 (万件)
故所求函数 ,
由 及 得定义域为 . …………6分
(2)第二年,当税收不少于 万元时,
由 得 ,
化简得 即 ,解得 …………9分
厂家的销售收入为
∵ 在 上减函数,
∴ (万元),故当税率为 时,厂家销售金额最大.…………13分
20.(本小题满分13分)
如图,已知圆O的直径AB在x轴上,且|AB|=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直于直线AB.点P是圆O上x轴上方的任意一点,直线PA、PB分别交L于M、N点.
(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆的方程;
( 2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过x轴上一定点.
解(1):⊙O的方程为x2+y2=4,直线L的方程为x=4.
当点P在x轴上方时,∵∠PAB=30°,∴点P的坐标为(1,), …………2分
∴LAP:y=(x+2), LBP:y=-(x-2).
将x=4代入,得M(4,2),N(4,-2).∴MN的中点坐标为(4,0),MN=4.
∴以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12. …………5分
(2)设点P的坐标为(x0,y0) (y0>0),∴x+y=4,∴y=4-x.
∵lPA:y=(x+2),lPB:y=(x -2),
将x=4代入,得yM=, yN=,∴M(4,),N(4,), …………7分
法1:
|MN|=|-|=.MN的中点坐标为(4,-). …………8分
以MN为直径的圆O′ 截x轴的线段长度为
2===y0=4,为定值. ………11分
∴⊙O′必过AB上的定点(4±2,0). …………13分
法2:以MN为直径的圆的方程为 ………9分
令y=0有: ,
求得x=4±2∴⊙O′必过AB上的定点(4±2,0). …………13分
21.(本小题满分13分)
已知点A是抛物线 上的一个动点,过A作圆D : x2 + =r2(r>0)的两条切线,它们分别切圆D于E , F两点.
(1)当 , A点坐标为(2,2)时,求两条切线的方程;
(2)对于给定的正数r,当A运动时,直线EF都不通过某个圆内的每一个点.
解(1)设切线的方程为y−2=k(x−2) …………1分
由kx−y+2−2k=0与圆x2 + 相切,故可得 …………3分
解之得:k=0或 .
故两条切线的方程为y−2=0或24x−7y−30=0. …………5分
(2)E , F在圆x2 + =r2上也在以 为直径端点的圆上,
即在圆 上. 上下两个圆的方程相减有:
,
它是直线EF的方程. …………9分
化简有: .
时,关于x0的二次方程有实根,故
直线EF不过圆 内的每一个点,
易知,直线 与圆G: 相切于点 ,
故当A运动时,直线EF都不通过圆G内的每一个点. …………13分
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