南雅中学2012年下学期高一期终考试数学答案
本试题卷包括选择题、填空题、和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分150分．
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1．已知 , ,则集合 为 ( A )
A． B． C． D．
2．根据表格中的数据，可以判定方程 的一个根所在的区间为 （ C ）
A． B． C． D．
3．三个数 ， ， 的大小顺序为 （ B ）
A． B．
C． D．
4．已知直线 ， 及平面 ，下列命题中不正确的是 （ D ）
A．若 ， ，则 ． B．若 ，则 ．
C．若 ， ，则 ． D．若 ， ，则 ．
5. 一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为 （ D ）
6.圆 中过点Q（1，2），且与圆相交截得的弦长最短时的直线方程是（ B ）
A．x+y+1=0 B．x+y−3=0
C．x−y−1=0 D．x−y−3=0
7．设集合 ， ，若
，则 的值为 （ C ）
A． B． C． 或 D． 或
8．已知定义在R上的偶函数 满足 ，且在区间 上 ．若关于 的方程 有三个不同的根，则 的取值范围为 （ D ）
A． B． C． D．
【解析】由 得 的图象（图略）．易得
故满足： ，故选D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在对应题号后的横线上.
9． 的值为______ _______．
10．过点 且与直线 平行的直线方程________ _________.
11．幂函数 的图象过点 ，则 的解析式是___ ____.
12．已知函数 ， ，则 与 的图象有_____ _______个交点.
13．若圆锥的侧面展开图形是圆心角为 、半径为 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比为___ ____.
14、已知函数 为定义在 上的奇函数，且 时，函数 单调递增，则满足 的实数 的取值范围为 .
15．已知立方体ABCD−A1B1C1D1的所有棱的中点及顶点的集合为M， M中任取三点形成的平面的集合为P，M中任取两点形成的的直线的集合为Q.
则:(1) P中与体对角线BD1垂直的平面有 5 个;
(2)Q中与体对角线BD1垂直的直线有 21 条．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知直线 经过直线l ¢： 与直线 的交点 ，且垂直于直线 ．
（1）求直线 的方程；
（2）求直线 ，l¢与x轴围成的三角形的面积 ．
解：（1）求得两直线的交点为 ， …………2分
l垂直于直线 ，故直线 的斜率为−2，…………4分
直线 的方程为y−2=−2(x+2)，即为 ；…………6分
（2）直线 ，l ¢ 在x轴的截距分别为−1， ， …………9分
故 …………12分
17．（本小题满分12分）
已知函数 的定义域为 ．
（1）判定函数f ( x )在 上的单调性；
（2）当 时，求函数 的值域．
解：（1）求得 …………2分
任取−2<x1<x2≤1,则
f ( x1 )− f ( x2 )=
因此f ( x1 )>f ( x2 )，故函数f ( x )在 上为减函数. …………6分
注：没有用定义，而是用性质“减函数—增函数为减函数”可只扣1分.
（2）令 ，∵ ∴ …………8分
则
∴当 即 时，g(x)有最小值 ， …………10分
当 即 时，g(x)有最大值0．
函数 的值域为[−1，0] ． …………12分
18．（本小题满分12分）
如图，多面体 的直观图及三视图如图所示， 分别为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求多面体 的体积.
证明：由多面体 的三视图知，三棱柱 中,
底面 是等腰直角三角形， ，
平面 ,侧面 都是边长为 的正方形.…2分
(1)连结 ，则 是 的中点，在△ 中， ， ………3分
且 平面 ， 平面 ， ∴ ∥平面 ………5分
(2) 因为 平面 ， 平面 ,
, 又 ⊥ ，所以， ⊥平面 ，∴四边形 是矩形,
且侧面 ⊥平面 …………8分
取 的中点 , ,
且 平面 .…………10分
所以，多面体 的体积 .……12分
19．（本小题满分13分）
某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一年产品免税，某外资厂该年 型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0<p<100，即销售 元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件 元，预计年销售量将减少p万件．
（1）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）在第二年该厂上交的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为11.8−p万件，
年销售收入为 万件，
政府对该商品征收的税收 （万件）
故所求函数 ，
由 及 得定义域为 ． …………6分
（2）第二年，当税收不少于 万元时，
由 得 ，
化简得 即 ，解得 …………9分
厂家的销售收入为
∵ 在 上减函数，
∴ （万元），故当税率为 时，厂家销售金额最大．…………13分
20．（本小题满分13分）
如图，已知圆O的直径AB在x轴上，且|AB|＝4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直于直线AB．点P是圆O上x轴上方的任意一点，直线PA、PB分别交L于M、N点．
(1)若∠PAB＝30°，求以MN为直径的圆的方程；
( 2)当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过x轴上一定点．
解（1）：⊙O的方程为x2＋y2＝4，直线L的方程为x＝4.
当点P在x轴上方时，∵∠PAB＝30°，∴点P的坐标为(1，)， …………2分
∴LAP：y＝(x＋2)， LBP：y＝－(x－2).
将x＝4代入，得M(4,2)，N(4，－2).∴MN的中点坐标为(4,0)，MN＝4.
∴以MN为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝12. …………5分
(2)设点P的坐标为(x0，y0) (y0>0)，∴x＋y＝4，∴y＝4－x.
∵lPA：y＝(x＋2)，lPB：y＝(x －2)，
将x＝4代入，得yM＝， yN＝，∴M(4，)，N(4，)， …………7分
法1：
|MN|＝|－|＝.MN的中点坐标为(4，－). …………8分
以MN为直径的圆O′ 截x轴的线段长度为
2＝＝＝y0＝4，为定值. ………11分
∴⊙O′必过AB上的定点(4±2，0). …………13分
法2：以MN为直径的圆的方程为 ………9分
令y=0有： ，
求得x=4±2∴⊙O′必过AB上的定点(4±2，0). …………13分
21．（本小题满分13分）
已知点A是抛物线 上的一个动点，过A作圆D : x2 ＋ =r2(r>0)的两条切线，它们分别切圆D于E , F两点.
（1）当 , A点坐标为(2，2)时，求两条切线的方程；
（2）对于给定的正数r，当A运动时，直线EF都不通过某个圆内的每一个点.
解（1）设切线的方程为y−2=k(x−2) …………1分
由kx−y＋2−2k=0与圆x2 ＋ 相切，故可得 …………3分
解之得：k=0或 .
故两条切线的方程为y−2=0或24x−7y−30=0. …………5分
（2）E , F在圆x2 ＋ =r2上也在以 为直径端点的圆上，
即在圆 上. 上下两个圆的方程相减有：
，
它是直线EF的方程. …………9分
化简有： .
时，关于x0的二次方程有实根，故
直线EF不过圆 内的每一个点，
易知，直线 与圆G: 相切于点 ,
故当A运动时，直线EF都不通过圆G内的每一个点. …………13分
要好评啊