北京（ペキン、ぺきん）大学（だいがく）
因为
日语有这样的自由性。所以写平，
片假名，都可以。有汉字的写汉字。
为什么的话，我认为根据写的人不同，用的字也不同吧。
不过我本人认为大概大多数学日语的中国人应该会写汉字。而有一小部分会写
平假名。
至于把北京写成片假名的原因是，日语里外国的国名或地方名等多用外来语表示，所以片假名居多。
比如，ロンドン、ニューヨーク、シンガポール、スペイン、イギリス等々。
但是类似中国，韩国，朝鲜，台湾等地多用，汉字，其原因应该是这些国家因为是，或曾经是使用汉字的国家。