众所周知的“哥尼斯堡城‘七桥问题’”被大数学家欧拉开创了数学新分支-----图论。也就是“一笔画”。一笔画图形的必要条件是：奇节点数目是0或者2。图⑴的“七桥问题”A,B,C,D都是奇节点，数目是4，所以不能够“一笔画”。 我们把节点转换回来，成为“节面”（区域），来考虑“一笔画”。
一，在平面中，4个或者4个以下的区域可以构成两两相连的区域，可以一笔画。图⑵。每个区域必须是单连通的，就是一个区域不能够是分成2块或者2块以上。图⑶就不是单连通的。这是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有两两相同的5个区域。
二，紧致封闭平面，在一个轮胎状的表面，7个或者7个以下的区域可以构成两两相连的区域。可以“一笔划”。把图（A）上下对折以后，再左右对折，形成一个轮胎状，7个区域两两相连（国外数学家给出）.两两相连的区域可以不经过其它区域到达任何一个区域。P。J希伍德以毕生精力研究四色定理，并且证明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面着色问题提出一个推测：在有P>1个洞的封闭曲面上，足以为任何地图着色的最小数等于（左图上下对折再左右对折就是一个轮胎，7个区域两两相连，可以一笔画）
Np=[(7+√（48p））/2]，其中[X]表示整数部分，
三个洞的封闭曲面
P=1,M1=7，即图（A).
克莱因瓶也只能7色，而不是8色。三，德国数学家G.林格证明了：足以为任何一张有P>1个洞的封闭曲面着色的真正最小色数Np，Np-Mp《2，以后美国数学家VT杨斯进一步证明了Np-Mp《1，而希伍德的假设对于不同球面几乎一切封闭曲面都是成立的，1974年，林格作出了完整的证明。例如，两个洞的封闭曲面应该是M2=[7+√(48×2)/2]=8，能够作8色。（见左图）王晓明王蕊珂经过9年杜撰。 四，如果我们不限定形态 三个洞的封闭曲面M三个3=[7+√（48×3)/2]=9，能够作9色四个洞10个区域两两相连一笔画
五，图D.这是有4个洞的10个两两相连区域图，下面四叉按照ABCD对应。
数学家欧拉找到一笔画的规律是：
⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
⒊其他情况的图都不能一笔画出。（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。）
比如附图：（a）为⑴情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。
