求数学高手：连续N个整数的积,必能被N!整除的证明

Question

因对网上的证明都不满意，所以求高手给个简单且有说服力的证明。要求：
1、不要用排列组合m(m+1)...(m+n-1)/n!公式，因为这是一种投机取巧的方法，没有从根本上说明为什么能被n!整除。况且我把题目改为“证明当N为奇数时，连续2N个奇数的乘积，必然能被1*3*5*7*....N的连乘积的平方整除”时，排列组合公式将毫无作用；
2、也不要用“任意连续N个整数中，必有一个能被N整除。同理可以知道连续N个数中至少有一个能被N-1;N-2;……2,1整除。所以这连续N个数之积能被N!整除”这样的证明。我认为，你虽然能证明它能被1，2，3....N整除，但还不够说明它就能被1，2，3...N的乘积整除。比如：你能证明24能被8整除，也同时能被6整除，难道你就能说24能被8*6整除吗？

Answer 1

先声明，我不是高手。
给你一个数学归纳法的证明，不知你能否满意？
证明对任何n≥r [ n﹙n－1﹚﹙n－2﹚…﹙n－r＋1﹚]/r！是整数
n＝1时 无论r是0或1 命题都成立
设n＝k时 所给的数全是整数 那么n＝k＋1时
﹙k＋1﹚k…﹙k－r＋2﹚/r！＝[k﹙k－1﹚…﹙k－r＋1﹚/r！]＋[k﹙k－1﹚…﹙k－r＋2﹚/﹙r－1﹚！
上式右边两个都是整数 相加也是整数
∴对k＋1成立
∴命题成立追问

在N=K时，所有r<=N（即r<=K)都满足条件，从而你推出了N=K+1时，所有r<=K都满足条件，但还未推出r=K+1时也满足条件，因为你上面自始至终没有出现（r+1）!或者（K+1）！

Answer 2

我是数学顶级高手！可以采用双重数学归纳法。
我将你的问题重述如下：
已知n大于等于1，m大于等于0，m，n皆为整数，求证：n！｜(m+1)(m+2)...(m+n).
首先对n采用归纳法：
1、当n=1时，对任意m有1｜(m+1)
2、假设n=k-1时，对任意m有(k-1)!｜(m+1)...(m+(k-1))
3、当n=k时，注意，此时我们要证明对任意m有k!｜(m+1)...(m+k)，此时对m采用数学归纳法。
3.1、m=0时，即为k!｜k!.
3.2、假设m=p-1时，k!｜((p-1)+1)...((p-1)+k)
3.3、当m=p时，(p+1)(p+2)...(p+k)=
((p-1)+1)...((p-1)+k) + (p+1)(p+2)...(p+(k-1))•k
用m的归纳假设有：
k!｜((p-1)+1)...((p-1)+k)
用n的归纳假设有：
对任意m有(k-1)!｜(m+1)...(m+(k-1))
当然有(k-1)!｜(p+1)(p+2)...(p+(k-1))，
从而k!｜(p+1)(p+2)...(p+(k-1))•k
故k!｜(p+1)(p+2)...(p+k)，证毕.

Answer 3

况且我把题目改为“证明当N为奇数时，连续2N个奇数的乘积，必然能被1*3*5*7*....N的连乘积的平方整除”。

这和原命题是等价的吗。

Answer 4

反证法呢。追问

请写出来.