高数——函数极限与无穷小关系的问题

Question

在函数极限与无穷小关系中：
函数是一个变量，那么一个变量怎么会等于一个常数A(极限值)与一个无穷小量之和呢。

f（x）=A+a(x)
既然是一个函数，那么他就有连续的值，就是一个变量，而极限值A是一个常量，无穷小也是一个常量，那么，两个常量之和怎么会等于一个变量（f()）呢

Answer 1

你是想问什么呢？这个命题明显是正确的，虽然这个命题对我们计算极限值的时候，似乎用处不大，不过在理论推导中应该有用处的。
这里是直接根据极限的定义来做的。还可以根据极限的性质之一：和差的极限等于极限的和差来做。
根据极限的性质，如果f（x）和g（x）都有极限。那么lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）
lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）。根据这个性质，很容易就证明这个命题了。

必要性：如果lim（x→x0）f（x）=A，令a（x）=f（x）-A，则lim（x→x0）a（x）=lim（x→x0）（f（x）-A）=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）A=A-A=0，所以a（x）是x→x0的无穷小。而f（x）=A+a（x）

充分性也是一样证明。如果f（x）=A+a（x），a（x）是x→x0的无穷小，则lim（x→x0）a（x）=0
所以lim（x→x0）f（x）=lim（x→x0）（A+a（x）=lim（x→x0）A+lim（x→x0）a（x）=A+0=A

所以证明完毕。

Answer 2

无穷小是一个值，它表示当x趋于某个值时，a(x)趋于0，f（x)是逼近于A得变量，它减去A以后当然也逼近于0追问

既然是一个函数，那么他就有连续的值，就是一个变量，而极限值A是一个常量，无穷小也是一个常量，那么，两个常量之和怎么会等于一个变量（f()）呢

追答

无穷小不是常量，它是一个过程，你把无穷小当作常量就是错误得。没有任何一个常量是无穷小

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Answer 3

这里的只是讨论f（x）这个函数在确定点x的值的取值趋势。。。
楼主所谓的俩常量加一起不等于一个变量，是没看到x是固定的吧

Answer 4

无穷小量不是一个很小的数，它是一个变量。